数模讲义主要涵盖的是数学建模的相关知识，特别是最优控制和变分法的应用。最优控制理论是解决现实生活中寻找最优化策略的问题，比如求解泛函的最大值或最小值。这种方法广泛应用于工程、经济、物理学等多个领域。变分法是解决这类问题的一种手段，分为古典变分法和近代变分法，这里主要讨论古典变分法。
古典变分法起源于17世纪的数学挑战，如最速降线问题和悬链线问题。这些问题涉及找到在特定条件下使某一量达到极值的曲线。最速降线问题要求在忽略摩擦的情况下，确定从高点到低点的路径，使得物体下落的时间最短。而悬链线问题则是找出在重力作用下，两端固定的链条形成的自然曲线，即悬链线，它的形状并非抛物线，而是由一个二阶常微分方程所描述。
在解决这些变分问题时，数学家们发展出了各种方法，例如欧拉和拉格朗日的贡献。变分法的基本概念包括泛函的概念，它将函数映射到实数值上。例如，一条曲线的长度可以被定义为一个泛函，依赖于曲线的形状，即函数y(x)。当我们要找的是一条连接两个点且长度最短的曲线时，这就是一个泛函极值问题。
对于无约束的最优控制问题，可以使用梯度方法或最速下降方法，以及牛顿方法来求解。而对于有约束的最优控制问题，罚函数方法是一种常用的技术。然而，最优控制的近似计算方法在复杂性和成熟度上相对有限维非线性规划来说还有一定差距，有些方法的收敛速度等问题尚未完全解决。
在数学建模中，掌握这些理论和方法至关重要，因为它们能够帮助参赛者或学习者构建有效的模型来解决实际问题。通过理解变分法和最优控制，参赛者可以更好地分析和优化控制系统，设计出更为精确的解决方案，从而在数学建模竞赛中取得更好的成绩。因此，这份数模讲义对于想要深入学习数学建模或参与相关比赛的人来说，是一份非常有价值的参考资料。
