树形数组的一些资料（PPT）

树形数组，又称二进制指数树或 Fenwick 树，是一种高效的数据结构，用于处理区间查询和修改问题。在动态维护序列上的某些操作时，它提供了优于简单数组和链表的方法，尤其对于大规模数据集，其优势更为明显。 线段树虽然能够处理区间查询和修改，但它需要较大的空间来存储子节点的信息，并且在实现时编程复杂度较高。相比之下，树形数组在保持较低的时间复杂度的同时，显著降低了空间需求。 树形数组的核心思想是将每个元素的贡献分散到其二进制表示的每一位对应的区间上。具体来说，对于一个序列 `a`，我们定义一个数组 `C`，其中 `C[i]` 表示从 `a[i - 2^k + 1]` 到 `a[i]` 的累加和，这里的 `k` 是 `i` 在二进制下末尾零的个数。例如，`C[6]` 表示 `a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6]`。 修改序列中的某个元素 `a[i]`，可以通过更新 `C` 数组来实现。函数 `change(k, delta)` 将 `a[i]` 增加 `delta`，其中 `k` 是要修改的元素的索引。这个过程通过不断将 `k` 加上它的最低位二进制数（`lowbit(k)`）来完成，直到 `k > n`，其中 `n` 是序列的长度。 询问区间 `[I, j]` 的元素和可以通过函数 `getsum(j) - getsum(i - 1)` 得到，`getsum(k)` 返回从 `1` 到 `k` 的累加和。这个过程从 `k` 开始，不断减去 `lowbit(k)` 直到 `k <= 0`，并将当前 `C[k]` 的值累加到结果中。 树形数组的实现简洁，空间复杂度为 `O(n)`，时间复杂度为 `O(log n)`，这使得它在处理大量数据时非常高效。例如，在“密码机”这个竞赛问题中，树形数组或线段树都能解决，但因为异或操作满足交换律和结合律，所以树形数组处理异或操作同样高效。 树形数组是一种强大的工具，特别适合处理动态区间累加查询和修改的问题，它在空间效率和编程复杂度方面优于线段树，是数据结构和算法学习中不可或缺的一部分。