第四章 空间几何关系
基础部分
陈熙霖：计算机视觉高级教程
齐次坐标与规格化N矢量
无穷远点、无穷远直线和射影平面
P
A
B
l
l
1
2
θ
图中
211
||,
l
l
l
A
B⊥
，当
2
π
θ
→
时，有
∞
→
B
P
，
1
l
A
P →
，
∞
P
为
1
l
与
2
l
交点，称为无穷远点，原来直线上的无穷远点称为平常点。
全体无穷远点构成无穷远直线。
欧氏平面加上无穷远点和无穷远直线构成射影平面。
无穷远点
陈熙霖：计算机视觉高级教程
齐次坐标与N矢量——齐次坐标下的点与直线
n维空间中的一个点用齐次n+1维空间中的一条直线来表示，称为齐
次坐标系
对视平面而言，用三个实数构成的齐次坐标
),,(
321
mmm
和
),,(
321
nnn
来分别表记视平面上的点与直线，并约定：
1.
当
0
3
≠m
时，齐次坐标
),,(
321
mmm
的点表示视平面上的点
),(
3
2
3
1
m
m
f
m
m
f
；当
0
3
=m
时，齐次坐标
),,(
321
mmm
的点表示视平
面上的一个无穷远点或不能出现的点；
2.
当
0
1
≠n
或
0
2
≠n
时，齐次坐标
),,(
321
nnn
对应视平面上的直线
0
321
=++ fnynxn
；当
0
21
== nn
时，齐次坐标
),,(
321
nnn
对应视
平面上的一条无穷远直线，或不能在视平面上出现的直线。
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齐次坐标与N矢量——性质
z 视平面上点的坐标
),(
3
2
3
1
m
m
f
m
m
f
和直线方程
0
321
=
+
+
f
n
y
n
x
n
所对应
的齐次坐标
),,(
321
mmm
和
),,(
321
nnn
具有伸缩不变性。
证明：取任意实数
0≠
k
，
),,(
321
mmmk
是对原齐次坐标的伸缩变换，于
是，
),(),(
3
2
3
1
3
2
3
1
m
m
f
m
m
f
km
km
f
km
km
f =
同理，对
0≠
k
，由
0)(
321
=
+
+
fnynxnk
，得
0
321
=
+
+
fnynxn
。
[证毕]
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齐次坐标与N矢量——视平面上的点与线
齐次坐标具有伸缩不变性，为减少由于有效位有限而产
生的溢出对计算精度的影响，引入归一化齐次坐标，并用
矢量形式标记，称之为N矢量。
对视平面上的点
),( ba
，对应齐次坐标
),,(
f
ba
的N矢量为
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
=
f
b
a
fba
222
1
m
对视平面上的直线
0
=
+
+
C
B
y
A
x
，的N 矢量为
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
=
fC
B
A
fCBA
222
)(
1
n
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齐次坐标与N矢量——视平面上的点
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
Z
Y
fy
Z
X
fx
齐次坐标的几何意义：各项同乘一系数,可理解为同一视线上的点
命题3.2 视平面上的点P的N矢量m是由视点O指向空间中P点的单位矢
量。
显然，证略
O
X
Y
Z
x
y
o
f
P(X,Y,Z)
m
点的透视变换关系
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[证明]:将空间投影关系带入直线方程
0
321
=++ fnynxnl
有
0
321
=+
+
ZnYnXn
(4.1)
即
0
3
2
1
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Z
Y
X
n
n
n
即
)(
321
nnn
垂直与平面(4.1)(由视点O与直线l所决定的平面)上的
点
[证毕]
齐次坐标与N矢量——视平面上的直线
命题 视平面上的直线l的N矢量n是由视点
O
与直线l所决定的平面的单位法矢量。
O
X
Y
Z
x
y
o
n
l
直线N矢量的解释
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消失点
定义 一条空间直线上的无穷远线素集在视平面上所形成的收敛点称为
消失点。一个空间平面的无穷远面素集在视平面上所形成的收敛线称
为消失线。
定理 方向或单位矢量为m的空间直线在视平面上形成的投影直线的消
失点的N矢量是m。
证明：设l是通过空间点
),,(
000
ZYX
，单位矢量为
T
321
)( mmm=m
的空
间直线，于是l 可以用参数方程表达为：
302010
,,: smZZsmYYsmXXl
+
=
+=+=
(4.2)
l
在视平面的投影为
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
=
+
+
=
30
20
30
10
smZ
smY
fy
smZ
smX
fx
(4.3)
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消失点
1. 当
±∞→
s
且
0
3
≠m
时有
lim
lim
3
2
3
1
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
±∞→
±∞→
m
m
fy
m
m
fx
s
s
(4.4)
即投影收敛于点
),(
3
2
3
1
m
m
f
m
m
f
，根据定义，消失点的N矢量刚好是
t
mmm )(
321
=m
。
2. 当
0
3
=m
，虽然
±
∞→
s
时 x与 y发散，但只要
0
0
≠
Z
，则有
2
1
m
m
y
x
=
，从而可知m表示位于无穷远处的消失点的N矢量。 [证毕]
