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1.时间序列分析基础知识,本文参考《应用时间序列分析》前三章。 2.使用python建模,适合数学建模对时间序列分析的快速入门与使用。 3.难度不大,推理较少,重应用
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时间序列分析
是
是
否
无效
有效
否
是否平稳序列
是否白噪声序列
结束
绘制ACF和PACF图分析后对ARMA模型定阶
估计模型参数
残差序列检验模型有效性
利用模型预测序列未来趋势
差分运算转换
时间序列定义
随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量
随机序列的观察值序列:
时间序列分析方法
描述性时序分析:通过直观的数据比较或绘图观测,寻找序列中蕴含的发展规律,这种分析
方法就称为描述性时序分析
..., X , X , ..., X , ...
1 2 t
..., x , x , ..., x , ...
1 2 t
统计时序分析
频域分析:可描述性不强
时域分析:自相关角度解释序列发展规律
时间序列预处理
特征统计量(可以反映序列大部分统计特征):
时刻随机变量的均值:
时刻随机变量的方差:
时刻和 时刻随机变量的自协方差:反映的是同一事件的两个时刻随机变量的相关性,“自”
的含义就是同一事件
时刻和 时刻的自相关系数:自协方差归一化
平稳性检验
宽平稳(二阶平稳)序列定义,低阶(二阶及以下)矩的性质不随时间发生变化的序列。即
如果一个序列满足下面三点,那它就是宽平稳的
任意时刻对应的随机变量的方差必须存在 .
任意时刻对应的随机变量的期望要相等,等于一个确定的常数
.
自协方差函数只与时间间隔有关 .
注:下文平稳序列均值宽平稳序列
平稳序列的性质:由宽平稳时间序列的定义不难退出如下性质
常数均值性质
常数方差性质
自协方差函数 自相关系数 只与时间间隔有关
t u =
t
E(X )
t
t D(X ) =
t
E((X −
t
μ ) )
t
2
t s
γ(t, s) = E((X −
t
u )(X −
t s
u ))
s
t s
ρ(t, s) =
D(X )D(X )
t s
γ(t, s)
E(X ) <
t
2
∞, ∀t ∈ T
E(X ) =
t
μ, μ为一常数, ∀t ∈ T
γ(t, s) = γ(k, k + s − t), ∀t, s, k, k + s − t ∈ T
γ(t, s), ρ(t, s)
不妨设时间间隔为k,于是可将宽平稳时间序列随机变量间的自协方差和值相关系数
表示为下式
还可以得出宽平稳时间序列常数方差性质,证明:
得到自相关系数表示为下式
平稳序列对应唯一自相关系数,但自相关系数不一定对应唯一平稳序列
平稳序列的重要意义:时间序列分析的本质还是样本信息推总体,我们知道随机变量越少样
本信息越多则推测越简单。然而由于时间的不可重复性,时间序列的变量极多而样本值只有
一个。而平稳序列表明随机变量有相同的统计特征,于是达到了增加样本观察值,减少随机
变量的效果,使得分析变得容易了。
2.再看如何判断一个时间序列数据是否宽平稳,这里介绍的是简单的图检验方法
时序图检验:根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质。平稳序列的时序图应该显示始终
在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界、无明显趋势及周期
自相关图检验:平稳序列有短期相关的性质,就是说随着延迟k的增大,自相关性会快速减小
到0,且自相关图长期保持在2倍方差内,无明显三角对称性(序列有单调性)和正弦规律
(序列有周期性)。下面是一个平稳序列的自相关图:
纯随机性检验
平稳随机序列又分为纯随机平稳序列,和非纯随机平稳序列。前者也称为白噪声。
延迟k自协方差:γ(k) = γ(t, t + k), ∀k ∈ integer
D(X ) =
t
γ(t, s) = E((X −
t
u )(X −
t t
u )) =
t
γ(t, t) = γ(0)
延迟k的自相关系数:ρ =
k
γ(0)
γ(k)
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YuanshengShe
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