### 使用LINGO 6.10求解大型数学规划
#### LINGO 6.10简介
LINGO是一款由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc）开发的求解数学规划问题的专业软件，主要适用于解决大规模的线性、非线性以及整数规划问题。用户可以从官方网站 (`http://www.lindo.com`) 下载该软件的安装文件 `lingo6.exe`，此文件是2000年9月26日发布的最新版本。如果未购买许可证，则只能使用DEMO版本，该版本对模型中的变量和约束条件数量有所限制（最多支持300个变量和150个约束条件）。对于大多数应用而言，DEMO版本已经足够使用；若需更多功能，则需联系公司购买正式版。
#### LINGO 6.10的主要功能特色
1. **运行速度快**：LINGO 6.10具有高效的算法实现，使得求解大型规划问题变得更加迅速。
2. **内置建模语言**：提供了丰富的内部函数，使得用户可以用较少的语句和更直观的方式描述复杂的规划模型。
3. **数据交互便利**：能够轻松地与Excel、数据库等其他软件进行数据交换，增强了软件的实用性。
#### 求解案例分析：钢管订购与运输计划
##### 问题背景
本案例来源于2000年全国大学生数学建模竞赛B题，问题的核心在于如何制定最优的钢管订购和运输计划，以最小化总费用。具体来说，有7家钢管生产厂家需要向天然气输送主管道上的15个站点供应钢管，这些站点将沿着管道向两边铺设直至完成整个项目。任务是确定最佳的钢管订购和运输策略，使得总体成本最低。
##### 数学模型建立
1. **符号定义**：
- \(a_j\)：站点\(A_j\)至\(A_{j+1}\)之间的管道长度。
- \(s_i\)：第\(i\)家钢厂的最大生产能力。
- \(x_{ij}\)：从第\(i\)家钢厂运往站点\(A_j\)的钢管数量。
- \(c_{ij}\)：从第\(i\)家钢厂运往站点\(A_j\)的单位钢管成本。
- \(y_j\)：站点\(A_j\)向左侧铺设的钢管数量。
- \(z_j\)：站点\(A_j\)向右侧铺设的钢管数量。
- \(f\)：总费用。
2. **目标函数**：
\[
\text{min} f = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{15} c_{ij}x_{ij} + 0.05\sum_{j=1}^{15} (y_j + y_j^2 + z_j + z_j^2)
\]
3. **约束条件**：
- 生产能力约束：\(\sum_{j=1}^{15} x_{ij} \leq s_i, i=1,2,\ldots,7\)
- 供应量约束：\(\sum_{j=1}^{15} x_{ij} = 0\) 或 \(\sum_{j=1}^{15} x_{ij} \geq 500, i=1,2,\ldots,7\)
- 铺设平衡约束：\(z_j + y_{j+1} = a_j, j=2,3,\ldots,14\)
- 总需求约束：\(y_j + z_j = \sum_{i=1}^{7} x_{ij}, j=2,3,\ldots,15\)
- 非负性约束：\(x_{ij} \geq 0, y_j \geq 0, z_j \geq 0, i=1,2,\ldots,7, j=2,3,\ldots,15\)
4. **LINGO建模**
在LINGO中构建上述数学模型之前，需要定义相关的集合（SETS）：
```LINGO
SETS:
GCH {S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7}: SI;
ZHD {A2 A3 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15}: HM YJ ZJ AJ;
```
- **集合定义**：
- `GCH` 表示钢厂集合，其中 `S1` 至 `S7` 分别代表7个不同的钢厂。
- `ZHD` 表示站点集合，包括从 `A2` 至 `A15` 的站点。
- **属性定义**：
- `SI` 是 `GCH` 集合的一个属性，用于表示每家钢厂的最大生产能力。
- `HM`, `YJ`, `ZJ`, `AJ` 分别是 `ZHD` 集合的属性，用于表示站点间的距离、站点向左右两侧铺设的钢管数量等。
通过上述建模过程，我们可以利用LINGO 6.10有效地解决这个大型非线性规划问题，并找到最优的钢管订购和运输计划。这不仅展示了LINGO的强大功能，也为解决实际工程问题提供了一种高效的方法。
