用零极点累试法实现滤波器的设计数字信号处理课程设计

本文档是关于数字信号处理课程设计的报告，主题是使用零极点累试法实现滤波器的设计。该设计的目的是使用零极点累试法设计一个低通滤波器，并使用 MATLAB 进行实现和检验。 一、滤波器的设计原理 滤波器的设计原理是将输入信号通过一个线性系统，使得无用信号的成分被滤去。对于一个线性时不变系统，其时域的输入和输出之间的关系可以用以下公式表示： tx(t) = ∫[h(t-τ)x(τ)dτ] 对其进行傅里叶变换，则输入输出的频域关系为： X(e^{jω}) = ∫[x(t)e^{-jωt}dt] Y(e^{jω}) = ∫[y(t)e^{-jωt}dt] H(e^{jω}) = Y(e^{jω})/X(e^{jω}) 设计的滤波器为低通滤波器时，则选用的系统函数 H(e^{jω}) 的幅度频率响应满足： |H(e^{jω})| ≤ 1， ω ≤ ωc |H(e^{jω})| ≥ 1， ω ≥ ωc 二、零极点累试法设计滤波器 零极点累试法设计滤波器的思路是，在 Z 平面上反复多次设计滤波器的零极点，观察幅频、相频特性是否满足预先设计的技术指标，如果满足技术指标，则软件输出滤波器的系统函数和滤波器的结构，否则还继续在 Z 平面上设计零极点，直到满足技术要求为止。 零极点累试法的设计过程可以分为以下步骤： 1. 设计人机对话界面，确定控制参数的输入方法； 2. 根据给定指标，设计低通滤波器，编写相应程序； 3. 编写波形输出程序； 4. 用 MATLAB 中的 FIR 滤波器设计的相关函数进行检验。 设计的滤波器系统函数可以统一以 Z 变换来表示为： H(z) = ∏[N(z)/D(z)] 其中，N(z) 和 D(z) 是多项式，分别表示零点和极点的分布。 对 H(z) 进行因式分解，得到： H(z) = ∏[(z-rc)/(z-rd)] 式中，rc 是零点，rd 是极点。A 参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点 rc 和极点 rd 的分布。 在 z 平面上，零点向量和极点向量可以分别用以下公式表示： Bcr = (z-rc)/(z-rd) Bd = (z-rd)/(z-rc) 将 Bcr 和 Bd 表示式代入 H(z) 式，得到： H(z) = ∏[(z-rc)/(z-rd)] 式中，N(z) 和 D(z) 是多项式，分别表示零点和极点的分布。 系统的频率响应特性可以由以下公式确定： |H(e^{jω})| = |∏[(e^{jω}-rc)/(e^{jω}-rd)]| ∠H(e^{jω}) = ∠∏[(e^{jω}-rc)/(e^{jω}-rd)] 零点和极点的分布对系统的频率响应特性有很大的影响。零点的位置主要影响频响的谷点位置及形状，极点的位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度。 零极点累试法是设计滤波器的一种有效方法，可以通过多次设计零极点来满足预先设计的技术指标。