### 图像处理基础
#### 数学基础
- **向量（Vectors）**
- 向量是线性代数中的基本概念之一，在图像处理中扮演着重要的角色。向量可以视为一个箭头，具有方向和长度。在图像处理中，向量常常用来表示图像中的像素值或特征。
- **定义**：向量是一组有序数组成的集合，例如 \(v = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\)。在二维空间中，向量可以表示为 \((x, y)\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别是沿 x 轴和 y 轴的方向分量。
- **应用**：在图像处理中，向量用于表示像素强度、颜色等属性，也可以用来描述图像中的特定区域。
- **矩阵（Matrices）**
- 矩阵是向量的扩展，是由多个向量按行或列排列组成的矩形数组。
- **定义**：矩阵是一个由数字构成的矩形数组，如 \(A = [a_{ij}]\) 表示一个 \(m \times n\) 的矩阵，其中 \(a_{ij}\) 是位于第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素。
- **应用**：在图像处理中，矩阵常用来表示图像本身，其中每个元素对应于图像中的一个像素。
- **向量空间（Vector Spaces）**
- 向量空间是指一组向量的集合，这些向量满足加法和标量乘法运算。
- **定义**：向量空间 \(V\) 是一个集合，对于该集合中的任意两个向量 \(u, v \in V\) 和任意实数 \(a, b\)，满足以下条件：
- 闭合性：\(u + v \in V\)
- 标量乘法闭合性：\(a \cdot u \in V\)
- **应用**：在图像处理中，向量空间可以用来描述不同类型的图像特征，例如颜色、纹理等。
- **基（Basis）**
- 基是一组向量，可以用来表示向量空间中的所有向量，并且这些向量是线性独立的。
- **定义**：设 \(V\) 是一个向量空间，如果存在一组向量 \(b_1, b_2, \ldots, b_n \in V\)，使得对于任何 \(v \in V\)，都存在唯一的一组系数 \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) 满足 \(v = c_1b_1 + c_2b_2 + \ldots + c_nb_n\)，那么这组向量称为 \(V\) 的一个基。
- **应用**：在图像处理中，基的概念被用于图像特征提取、压缩编码等领域。
- **内积与投影（Inner Products and Projections）**
- 内积是一个重要的操作，它衡量了两个向量之间的相似度。
- **定义**：设 \(u = (u_1, u_2, \ldots, u_n)\) 和 \(v = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\) 是两个向量，则它们的内积定义为 \(u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \ldots + u_nv_n\)。
- **应用**：在图像处理中，内积可以用来计算两个图像特征之间的相似度，投影则可以用来将高维数据映射到低维空间，以实现降维的目的。
- **线性变换（Linear Transforms）**
- 线性变换是一种函数，它可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
- **定义**：设 \(V\) 和 \(W\) 是两个向量空间，若存在一个函数 \(T: V \rightarrow W\)，使得对于任何 \(u, v \in V\) 和任何实数 \(a\)，都有 \(T(u + v) = T(u) + T(v)\) 以及 \(T(a \cdot u) = a \cdot T(u)\)，则称 \(T\) 为从 \(V\) 到 \(W\) 的线性变换。
- **应用**：在图像处理中，线性变换用于图像增强、滤波等任务。
#### 离散时间信号与系统
- **离散时间信号（Discrete-Time Signals）**
- 离散时间信号是指随时间变化的信号，但其时间坐标不是连续的，而是以一定的时间间隔采样的。
- **定义**：离散时间信号 \(x[n]\) 是一系列数值序列，其中 \(n\) 表示时间的整数坐标。
- **应用**：在图像处理中，离散时间信号用于描述图像的像素值，以及处理过程中信号的变化情况。
- **离散时间系统（Discrete-Time Systems）**
- 离散时间系统是指处理离散时间信号的系统。
- **定义**：离散时间系统是一个将输入信号转换为输出信号的数学模型。
- **应用**：在图像处理中，离散时间系统用于实现图像增强、去噪等功能。
- **线性时不变系统（Linear Time-Invariant Systems）**
- 线性时不变系统是一种特殊的离散时间系统，它同时具备线性和时不变性的性质。
- **定义**：如果一个系统对于任何输入信号 \(x[n]\) 和 \(y[n]\) 以及任意实数 \(a\)，满足 \(T(ax[n] + y[n]) = aT(x[n]) + T(y[n])\) 并且对于任何整数 \(k\)，有 \(T(x[n-k]) = T(x[n])-k\)，则称该系统为线性时不变系统。
- **应用**：在图像处理中，线性时不变系统用于实现卷积操作，这是图像滤波和边缘检测的基础。
通过以上对数学基础的介绍，我们了解到这些基础知识在图像处理中的重要作用。接下来的部分将进一步探讨具体的图像处理技术，包括采样、数字滤波设计、从光子到像素的转换过程、点对点操作、线性滤波等，这些技术共同构成了图像处理的核心内容。
