Lagrange 插值

拉格朗日插值是一种在数值分析中广泛使用的插值方法，用于构建一个多项式函数，使得该多项式在一组给定的离散点上精确地匹配这些点的函数值。这种方法基于拉格朗日基函数，也称为拉格朗日插值多项式。 拉格朗日插值的基本思想是，对于给定的n+1个互不相同的节点\( x_0, x_1, \ldots, x_n \)，存在一个唯一的n次多项式P，使得对于每个i，有P\( (x_i) = f(x_i) \)，其中f是这些节点上所要逼近的函数。这个多项式可以表示为： \[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x) \] 这里的\( L_i(x) \)是第i个拉格朗日基函数，定义为： \[ L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \] 这意味着每个\( L_i(x) \)在\( x_i \)处取值1，在所有其他节点\( x_j \)（\( j \neq i \)）处取值0。因此，当将\( f(x_i) \)乘以对应的\( L_i(x) \)并求和时，就得到了一个在所有节点上精确匹配函数值的多项式。 在实验中，学生王东萍通过编程实现了拉格朗日插值多项式的计算。她选择了三个插值节点，即区间的三等分点\( x_0 = 0, x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = \frac{2}{3}, x_3 = 1 \)。然后，她分别对函数\( y = x, y = x^2, y = x^{10} \)在\( x = 0.5 \)处进行了逼近计算。实验结果显示，对于\( y = x \)和\( y = x^2 \)，原函数与插值多项式在\( x = 0.5 \)处的值完全相同；而对于\( y = x^{10} \)，虽然存在微小差异，但逼近值依然非常接近原函数值，这表明拉格朗日插值多项式具有很好的收敛性。 实验步骤包括了以下几点： 1. 计算拉格朗日基函数\( L_i(x) \)。 2. 使用基函数构造拉格朗日插值多项式。 3. 对给定函数及其插值节点进行计算，得出在\( x = 0.5 \)的逼近值。 4. 绘制原函数和插值多项式的图像，并标出各点在\( x = 0.5 \)处的值。 5. 比较实际值与逼近值，验证拉格朗日插值的收敛性。 通过附录中的代码可以看出，王东萍使用MATLAB编程实现了这一过程。代码包括了循环结构来计算每个函数的拉格朗日插值，并绘制了相应的图形，以便直观地比较原函数与插值多项式的值。 总结来说，拉格朗日插值是一种有效的数学工具，用于构建一个多项式函数来近似给定的数据点。在王东萍的实验中，这种方法展示了良好的收敛性，尤其是在处理简单的函数如线性和二次函数时。尽管对于高次幂的函数可能产生微小的误差，但这种误差通常可以接受，特别是在有限精度的计算环境中。