Matching, Euler Tours and the Chinese Postman

### 中国邮路问题及其解决方案 #### 一、引言 本文主要介绍了一种通过匹配理论来解决中国邮路问题的方法。该方法不仅提供了一种有效的算法，还给出了该问题解空间的多面体描述。文章由Jack Edmonds与Ellis L. Johnson共同撰写，并于1973年发表于《Mathematical Programming》期刊上。 #### 二、中国邮路问题定义 **中国邮路问题**（Chinese Postman Problem, CPP）是指在一个图中寻找一条路径，使得每条边至少被经过一次，并且总路径长度最短。这个问题最初是由中国数学家管梅谷在1962年提出的。其背景是一个邮递员需要沿着街道投送邮件，希望找到一条能够覆盖所有街道的最短路线，并最终回到起点。 #### 三、匹配理论基础 为了解决CPP，我们需要理解匹配理论的基本概念。匹配是指在一个无向图中选取一组边，使得任意两个选中的边不共用相同的顶点。如果一个图中的每个顶点恰好属于一个匹配，则这样的匹配称为完美匹配。匹配理论的核心是寻找最大匹配或最小权重完美匹配等。 #### 四、利用匹配理论求解CPP ##### 1. 解决方案概述 Edmonds等人提出的算法首先将CPP转换为一个更通用的问题——寻找最小权重完美匹配。他们发现CPP可以视为一个寻找满足特定条件的最小权匹配问题。具体来说，算法通过构造一个新的图并在这个新图中寻找最小权重的完美匹配来解决问题。 ##### 2. 多面体描述 此外，作者还给出了CPP解空间的多面体描述。这意味着可以通过线性规划的方法来描述CPP的所有整数解。这种方法有助于证明算法的最优性，并提供了对问题结构的深刻理解。 ##### 3. 算法细节 算法的核心是一个特殊的匹配算法，即b-匹配花算法的特例。这个算法能够在多项式时间内找到CPP的最优解。尽管算法本身并不直接给出邮递员的实际路径，但它提供了一个包含欧拉回路的新图。通过进一步处理这个图，可以得到邮递员所需的路径。 #### 五、寻找欧拉回路 在解决了CPP之后，接下来的问题是如何从结果图中找到一条实际可行的路径。这涉及到寻找欧拉回路的问题。欧拉回路是指在一个无向图中，一条能够遍历每条边恰好一次的回路。 文章中提到了如何在构造的图中寻找欧拉回路的具体算法。这通常涉及将图中度数为奇数的节点通过匹配的方式连接起来，然后从任一节点出发，按照特定规则遍历整个图，最终形成一个完整的回路。 #### 六、扩展问题 文章讨论了类似但更复杂的情况，例如当部分边是有方向的时候，或者是在混合图中寻找类似的路径。这些扩展问题虽然更加复杂，但通过匹配理论仍然可以有效地解决。 ### 总结 通过匹配理论解决中国邮路问题是一种非常优雅的方法。它不仅提供了高效的算法来解决这个问题，还深入地揭示了问题的本质和结构。这种理论框架不仅适用于CPP，还可以推广到其他类似的问题中。对于研究图论和组合优化领域的学者来说，这是一个非常有价值的研究成果。