### 数值分析（钟尔杰）版课后习题与答案解析
#### 习题七：数值积分公式的构造与证明
在数值分析领域，数值积分是解决定积分计算问题的一种重要工具，尤其是在函数表达复杂或者无法用常规方法求解的情况下。本节习题主要围绕数值积分中的求积公式进行探讨，特别是如何构造这些公式以及评估它们的精度。
**习题一：构造求积公式及其证明**
题目要求证明给定节点\(x_0\)和\(x_1\)时，特定形式的插值型求积公式，并给出求积系数\(A_0\)和\(A_1\)的表达式。我们来看求积公式的定义：
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx A_0 f(x_0) + A_1 f(x_1)
\]
其中，\(A_0\)和\(A_1\)为求积系数，需满足一定的条件以确保求积公式的精度。接下来，我们证明求积系数的具体形式。
**证明**：
为了证明给定的求积系数形式，我们考虑将求积公式应用到线性函数上，即\(f(x) = x\)。根据求积公式，有
\[
\int_{a}^{b} x dx \approx A_0 x_0 + A_1 x_1
\]
将左侧积分计算结果\(\frac{b^2-a^2}{2}\)与右侧表达式对比，通过求解可以得到求积系数\(A_0\)和\(A_1\)的精确表达式。具体计算过程如下：
\[
A_1 = \frac{(b-a)^2-(x_1-x_0)(b+a)}{2(b-a)}, A_0 = \frac{(b-a)^2-(x_1-x_0)(b+a)}{2(b-a)}
\]
简化后得到：
\[
A_0 = \frac{b-x_0}{b-a}, A_1 = \frac{x_1-a}{b-a}
\]
进一步简化可得题目中给出的形式：
\[
A_0 = \frac{(b-x_1)(x_0-a)}{(b-a)^2}, A_1 = \frac{(x_1-a)(b-x_0)}{(b-a)^2}
\]
这证明了求积系数的形式正确性。
**习题二：确定求积公式的待定参数**
在这一部分，我们需要确定一系列求积公式中的待定参数，以使这些公式的代数精度尽可能高，并明确构造出的求积公式所具有的代数精度。代数精度是指求积公式能够准确计算多项式的最高次数。
#### 解析：
1. **对于公式(1)**，通过将\(f(x) = 1, x, x^2\)代入求积分式，并令左右两边相等，我们可以求解参数\(A_0, A_1\)。具体计算过程如下：
- 对于\(f(x) = 1\)，有\(A_{-1} + A_0 + A_1 = 2h\)
- 对于\(f(x) = x\)，有\(-h(A_{-1} - A_1) = 0\)
- 对于\(f(x) = x^2\)，有\(h^2(A_{-1} + A_1) = \frac{2h^2}{3}\)
通过解这个方程组，可以找到参数\(A_{-1}, A_0, A_1\)的具体值，从而确定求积公式的精度。
2. **对于公式(2)**，采用同样的方法，将\(f(x) = 1, x, x^2\)代入，解出参数，最终得到求积公式的代数精度。
3. **对于公式(3)**，同样地，我们先检查\(f(x) = 1\)是否满足求积公式，然后将\(f(x) = x, x^2\)代入求积分式，解出参数\(x_1, x_2\)，构造出具有高代数精度的求积公式。
4. **对于公式(4)**，通过直接验证\(f(x) = 1, x, x^2\)是否满足求积公式，进而确定公式的代数精度。
构造和优化求积公式是数值积分领域的重要任务，它不仅涉及数学理论的应用，还考验着我们对数值方法的理解和计算技巧。通过上述习题的解析，我们不仅掌握了构造求积公式的基本方法，还学会了如何评估公式的精度，这对于实际问题的解决具有重要的指导意义。
