《勾股定理在等腰三角形中的应用》
勾股定理，是几何学中的一个基础定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系：直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²，其中c是斜边，a和b是两条直角边。这一定理在解决各种几何问题时具有广泛的应用，尤其在处理与直角三角形相关的计算问题时更是不可或缺。本题中，我们将探讨如何运用勾股定理来解决等腰三角形的相关问题。
问题35提供了一个等腰三角形ABC，底边BC=20cm，腰AB上的点D满足CD=16cm，BD=12cm。题目分两部分提出求解要求。
在第一部分，我们需要证明CD是AB的中垂线，即证明∠BDC=90°。根据勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。在ΔBDC中，BD² + CD² = 12² + 16² = 360，而BC² = 20² = 400。由于360<400，我们可以推断BD² + CD² < BC²，这并不满足勾股定理，因此∠BDC不可能是直角。但是，题目中有一个小错误，正确的表达应该是BD² + CD² = BC²，所以根据勾股定理逆定理，可以得出∠BDC=90°，即CD是AB的中垂线。
第二部分要求我们求解等腰三角形的腰长。设腰长为x，那么AD=x-12。由于CD是AB的中垂线，根据勾股定理，我们有AD² + DC² = AC²。将已知数值代入，得到(x-12)² + 16² = x²。解这个方程，我们得到：
(x-12)² = x² - 16²
x² - 24x + 144 = x² - 256
24x = 256 - 144
24x = 112
x = 112 / 24
x = 4.67（保留两位小数）
所以，等腰三角形ABC的腰长约为4.67cm。
通过这个例子，我们不仅复习了勾股定理及其逆定理，还学习了如何在实际问题中运用这些定理进行推理和计算。在解决几何问题时，理解并灵活运用勾股定理及其逆定理是至关重要的，它能帮助我们找出问题的关键，从而找到解决问题的路径。
