有限元方法讲义.pdf（第一讲）

### 有限元方法讲义知识点总结 #### 一、工程和科学中典型问题 在工程技术领域，经常遇到两类典型的问题： 1. **离散系统**：这类问题是可以通过有限数量的已知单元体进行组合而成的。例如，在材料力学中常见的连续梁、建筑结构框架以及桁架结构等。这类问题虽然可以求解，但对于复杂的情况（如图中所示的平面桁架结构），由六个承受轴向力的“杆单元”组成，其求解往往需要借助计算机技术的帮助。 2. **连续系统或场问题**：这类问题通常可以建立它们应遵循的基本方程——微分方程和相应的边界条件。例如，弹性力学问题、热传导问题、电磁场问题等。这类问题的研究对象通常是无限小的单元，因此被称为连续系统或场问题。即使已经建立了基本方程，但由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际工程问题，无法给出精确解答，例如引擎工作过程中的温度分布问题。针对这一难题，工程师和数学家们提出了多种近似方法。 #### 二、场问题的一般描述 场问题可以用微分方程加上边界条件来描述： 1. **微分方程**：根据不同的物理现象，可以有不同类型的场问题，比如： - 应力场——弹性力学 - 温度场——热传导 - 电磁场——电磁学 - 流速场——流体力学 其中 \( A(u) \) 表示微分算子，\( u \) 表示未知场函数，可以是标量场（如温度），也可以是矢量场（如位移、应变、应力等）。 2. **边界条件**：用于限定微分方程的解，确保其符合实际物理情况。这些条件可以是： - 在域内的条件 - 在边界上的条件 以二维热传导问题为例，微分方程表示的是从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源产生的热量之间的平衡关系。而边界条件则规定了边界上温度的分布。 #### 三、场问题的求解策略及方法 场问题的求解策略主要分为两种： 1. **直接法**：直接求解基本方程及其相应定解条件的精确解。 2. **间接法**：基于变分原理，通过构建基本方程及其相应定解条件的泛函形式，寻找泛函的极值点来获得原问题的近似解。 场问题的求解方法也分为两大类： 1. **解析或半解析法**：适用于理论推导和简单问题的求解。 2. **数值法**：适合于复杂问题的求解，其中又包括： - 基于直接法的数值法，如差分法。 - 基于间接法的数值法，如里兹法、有限元法等。 **差分法**是一种常用的数值方法，它通过将微分方程转化为差分方程来近似求解。具体来说，将区间 [a, b] 分为 n 等份，利用差分代替相应的微分操作，从而得到一系列线性代数方程组，通过求解该方程组即可得到近似解。 **里兹法**是一种间接方法，通过构造能量泛函并寻找其极值点来求解问题。这种方法主要用于解决连续系统的近似解。 场问题的求解涉及到微分方程的建立、边界条件的设定以及具体的求解策略和方法。其中，有限元法作为一种高效的数值方法，在解决复杂工程问题方面具有广泛的应用前景。