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数学建模——水塔流量问题.pdf
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实验十四 水塔流量问题
【实验目的】
1.了解有关数据处理的基本概念和原理。
2.初步了解处理数据插值与拟合的基本方法,如样条插值、分段插值等。
3.学习掌握用 MA TLAB 命令处理数据插值与拟合问题。
【实验内容】
某居民区有一供居民用水的圆形水塔, 一般可以通过测量其水位来估计水的流量。 但面
临的困难是, 当水塔水位下降到设定的最低水位时, 水泵自动启动向水塔供水, 到设定的最
高水位时停止供水, 这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。 通常水泵每天供水一
两次,每次约两小时。水塔是一个高 12.2 米、直径 17.4 米的正圆柱。按照设计,水塔水位
降到约 8.2 米时,水泵自动启动,水位升到约 10.8 米时水泵停止工作。
某一天的水位测量记录如表 1 所示, 试估计任何时刻 (包括水泵正供水时) 从水塔流出
的水流量,及一天的总用水量。
表 1 水位测量启示录( //表示水泵启动)
时刻( h)
水位( cm)
0
968
0.92
948
1.84
931
2.95
913
3.87
898
4.98
881
5.90
869
7.01
852
7.93
839
8.97
822
时刻( h)
水位( cm)
9.98
//
10.92
//
10.95
1082
12.03
1050
12.95
1021
13.88
994
14.98
965
15.90
941
16.83
918
17.93
892
时刻( h)
水位( cm)
19.04
866
19.96
843
20.84
822
22.01
//
22.96
//
23.88
1059
24.99
1035
25.91
1018
【实验准备】
在生产实践和科学研究中,常常遇到这样的问题:由实验或测量得到的一批离散样点,
需要确定满足特定要求的曲线或曲面(即变量之间的函数关系或预测样点之外的数据) 。如
果要求曲线 (面)通过所给的所有数据点 (即确定一个初等函数通过已知各数据, 一般用多
项式或分段多项式) ,这就是 数据插值 。在数据较少的情况下,这样做能够取得好的效果。
但是,如果数据较多, 那么插值函数是一个次数很高的函数, 比较复杂。如果不要求曲线 (面)
通过所有的数据点,而是要求它反映对象整体的变化趋势,可得到更简单实用的近似函数,
这就是 数据拟合 。函数插值和曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似, 由于近
似的要求不同,二者在数学方法上是完全不同的。
1.数据插值的基本方法
拉格朗日插值
若知道函数
y
= )(xf 在互异的两个点
0
x 和
1
x 处的函数值
0
y 和
1
y ,而想估计该函数在
另一点 处的函数值, 最自然的想法是作过点 (
0
x ,
0
y )和点(
1
x ,
1
y )的直线 y = )(
1
xL ,
用 )(
1
L 作为准确值的近似值,如果得到的结果误差太大,还可增加一点 )(xf 的函数值,
即已知
y
=
)(xf
在互异的三个点
0
x ,
1
x 和
2
x 处的函数值
0
y ,
1
y 和
2
y ,可以构造过这三
点的二次曲线
y
= )(
2
xL ,用 )(
2
L 作为准确值 )(f 的近似值。
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djrmdm
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