图形学-最小二乘能量算法

### 图形学中的最小二乘能量算法 #### 引言 在计算机辅助设计（CAD）与计算机辅助制造（CAM）领域中，曲线光顺技术是一项关键的技术。它旨在通过优化曲线形状来改善曲线的平滑性和美观度。目前，已有多种光顺方法被提出并应用于实践中，包括节点删除与插入法、Kjellander法、能量法以及最小二乘法等。这些方法各有优劣，而能量法因其良好的光顺效果而被广泛应用。然而，传统的能量法虽然能够降低曲线的绝对曲率，但在保证曲率变化均匀性方面存在不足。因此，本文介绍了一种新的基于最小二乘法的自动光顺算法——最小二乘能量法，并详细探讨了其原理和应用。 #### 1. B样条曲线及其能量法与最小二乘法光顺 ##### 1.1 插值三次B样条曲线 B样条曲线是一类重要的曲线类型，在CAD/CAM中有着广泛的应用。对于给定的型值点列\( Q_i (i=0,1,\ldots,n) \)，可以构造一个三次样条曲线\( P(u) \)。此曲线通过一系列控制顶点来定义，控制顶点的位置决定了曲线的整体形状。三次B样条曲线可以通过以下形式表示： \[ P(u) = \sum_{j=0}^{n+2} V_j B_{j,3}(u) \] 其中，\( V_j (j=0,1,\ldots,n+2) \)是控制顶点，\( B_{j,3}(u) \)是由节点矢量\( \{u_i\} (i=0,1,\ldots,n+6) \)确定的三次B样条基函数。节点矢量可以通过积累弦长参数化方法来确定，即：\( u_0=u_1=u_2=u_3=0, u_{i+3}=\sum_{k=1}^{i-1} l_k/\sum_{k=1}^{n-1} l_k (i=1,2,\ldots,n-1), u_{n+3}=u_{n+4}=u_{n+5}=u_{n+6}=1 \)，其中\( l_k \)是弦长。 ##### 1.2 能量法光顺 能量法采用样条曲线的应变能作为目标函数，其目标是最小化曲线的应变能。具体来说，可以通过以下公式计算曲线的能量： \[ E = \int_{0}^{1} k^2 ds + \sum_{i=0}^{n} R_i |P_i - Q_i|^2 \] 这里，\( k \)是曲线的曲率，\( P_i, Q_i (i=0,1,\ldots,n) \)分别是光顺后曲线及原曲线上的型值点。第一项表示曲线的应变能，第二项表示光顺后曲线上的点与相应型值点之间的偏离程度。通过最小化\( E \)，可以获得光顺后的曲线\( P(u) \)。参数\( a \)和\( \{R_i\} \)分别称为光顺权和逼近权，它们是非负常数，由用户根据需求设定。较大的\( a \)和较小的\( \{R_i\} \)使得光顺性更好，但可能牺牲曲线的逼近性；反之，则提高了曲线的逼近性但降低了光顺性。 ##### 1.3 最小二乘法光顺 最小二乘法则是采用样条曲线的剪力跃度平方和作为目标函数，目标是最小化剪力跃度的平方和。如果\( P(u) \)为平面曲线，则在点\( P_i \)处的剪力跃度可以表示为： \[ d_i = P''(u_i+3) - P''(u_i) \] 最小二乘法的目标函数可以表示为： \[ E = \sum_{i=0}^{n+2} \left( d_{i+1} - d_i \right)^2 \] #### 2. 最小二乘能量法 最小二乘能量法结合了能量法和最小二乘法的优点，旨在同时实现良好的光顺性和逼近性。该方法的基本思想是在最小化应变能的同时，也考虑控制点位置的调整，以满足光顺后曲线与原始曲线之间保持一定的逼近性要求。具体而言，最小二乘能量法可以通过迭代调整控制顶点位置，以确保光顺后的曲线既具有较低的应变能，又能够较好地逼近原始曲线。 #### 结论 本文介绍了图形学领域中用于曲线光顺的一种新方法——最小二乘能量法。该方法综合了能量法和最小二乘法的优点，不仅能够有效降低曲线的应变能，还能够在保持良好光顺性的同时提高曲线的逼近性。通过适当选择光顺权和逼近权，可以灵活地调整光顺结果以满足不同应用场景的需求。最小二乘能量法为CAD/CAM领域提供了一种新的、有效的光顺工具，有望在实际工程设计中发挥重要作用。