数字信号处理-基于计算机的方法(第三版)答案

### 数字信号处理-基于计算机的方法(第三版)答案 #### 知识点解析 **数字信号处理**是一门涉及信号分析与系统设计的技术学科，它利用计算机算法对信号进行处理，以达到增强、压缩、滤波等目的。在本章节中，我们将深入探讨数字信号处理中的基本概念和技术，特别是通过具体的例子来理解离散时间信号的基本表示方法。 ### 2.1 分析 #### (a) 信号表示 给定信号 \( x[n] \) 的表达式为： \[ x[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0.4 & n = 1 \\ 0.1396 & n = 2 \\ 0.0852 & n = 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] 这里给出的信号是一个离散时间信号，它只在特定的时间点上有非零值。例如，当 \( n = 0 \) 时，信号的值为 1；当 \( n = 1 \) 时，信号的值为 0.4，以此类推。这种表示方式非常适合计算机处理，因为它可以被精确地存储在数组或列表中，并且可以通过索引来访问各个时间点上的值。 #### (b) 单位脉冲序列 对于单位脉冲序列（也称为单位阶跃序列），其定义如下： \[ \delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{cases} \] 此序列在 \( n = 0 \) 时取值为 1，在其他所有点上取值为 0。这是数字信号处理中最基本的信号之一，常用于测试和验证系统的响应。 ### 2.2 信号表示及单位脉冲序列的应用 接下来的部分展示了如何使用单位脉冲序列来表示不同的信号。 #### (a) 信号表示 考虑一个由单位脉冲序列定义的信号 \( x[n] \): \[ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \] 如果 \( n < 0 \)，则 \( k = 0 \) 不包含在求和中，因此 \( x[n] = 0 \) 当 \( n < 0 \)。另一方面，如果 \( n \geq 0 \)，则 \( k = 0 \) 被包含在求和中，从而 \( x[n] = 1 \) 当 \( n \geq 0 \)。因此，可以得出信号 \( x[n] \) 的表示如下： \[ x[n] = \begin{cases} 0 & n < 0 \\ 1 & n \geq 0 \end{cases} \] #### (b) 信号表示 另一个信号 \( y[n] \) 可以表示为： \[ y[n] = -\delta[n-1] + \delta[n] \] 根据单位脉冲序列的定义，可以得出 \( y[n] \) 的具体形式为： \[ y[n] = \begin{cases} -1 & n = 1 \\ 1 & n = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] ### 2.3 复杂信号的构造 #### (a) 信号的构建 考虑以下定义的信号： \[ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \] 如果 \( n < 0 \)，则 \( k = 0 \) 不包含在求和中，因此 \( x[n] = 0 \) 当 \( n < 0 \)。另一方面，如果 \( n \geq 0 \)，则 \( k = 0 \) 被包含在求和中，从而 \( x[n] = 1 \) 当 \( n \geq 0 \)。因此，可以得出信号 \( x[n] \) 的表示如下： \[ x[n] = \begin{cases} 0 & n < 0 \\ 1 & n \geq 0 \end{cases} \] #### (b) 信号的构建 另一个信号 \( y[n] \) 可以表示为： \[ y[n] = -\delta[n-1] + \delta[n] \] 根据单位脉冲序列的定义，可以得出 \( y[n] \) 的具体形式为： \[ y[n] = \begin{cases} -1 & n = 1 \\ 1 & n = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] ### 2.4 信号的组合 接下来的部分展示如何通过单位脉冲序列的线性组合来构造更复杂的信号。 考虑以下信号： \[ x[n] = \delta[n-3] - \delta[n-2] + 2\delta[n-1] - 3\delta[n] \] 通过将每个单位脉冲序列与相应的系数相乘并求和，可以得到信号 \( x[n] \) 的具体形式为： \[ x[n] = \begin{cases} -3 & n = 0 \\ 2 & n = 1 \\ -1 & n = 2 \\ 1 & n = 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] ### 2.5 信号的操作 这一部分讨论了各种信号操作，包括上采样和加法。 #### (a) 上采样 考虑信号 \( x[n] \) 上采样到 2 倍采样率： \[ x_2[n] = x[n/2] \] \[ x_2[n] = \begin{cases} 4 & n = 0 \\ 5 & n = 2 \\ 1 & n = 4 \\ 2 & n = 6 \\ 3 & n = 8 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] #### (b) 加法 两个信号 \( x[n] \) 和 \( y[n] \) 相加的结果 \( d[n] \) 如下： \[ d[n] = x[n] + y[n] \] 假设 \( x[n] \) 和 \( y[n] \) 分别为： \[ x[n] = \begin{cases} 6 & n = 0 \\ 3 & n = 2 \\ 1 & n = 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] \[ y[n] = \begin{cases} 8 & n = 0 \\ 7 & n = 2 \\ -3 & n = 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] 则： \[ d[n] = \begin{cases} 14 & n = 0 \\ 10 & n = 2 \\ -2 & n = 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] ### 结论 以上各部分通过具体的例子详细介绍了数字信号处理中的一些基础概念和技术，包括离散时间信号的基本表示方法、单位脉冲序列的应用以及信号的组合和操作。这些基础知识对于理解和应用数字信号处理技术至关重要。