平面向量是线性代数中的一个重要概念，主要研究二维空间中的向量性质、运算以及它们与几何图形的关系。在中学数学课程中，平面向量是解析几何的基础，用于描述和解决几何问题。
1. 向量平行：题目中提到了向量平行的条件，即两个向量的坐标成比例，例如向量`a=(4,2)`和`b=(x,3)`平行，意味着`2x=4*3`，解得`x=6`。这表明两个向量的坐标可以写成相同的比例形式。
2. 向量共线与单位向量：共线向量意味着它们可以表示为一个标量乘以另一个向量的形式。题目指出，如果`a`与`b`共线，`b`与`c`共线，并不一定意味着`a`与`c`共线。此外，两个单位向量的点积不一定是1，只有当它们同方向时才等于1。
3. 向量夹角与点积：向量的夹角可以通过它们的点积来确定，点积等于两向量模的乘积再乘以它们夹角的余弦值。若`|a+b|=|a-b|`，则意味着`a·b=0`，两向量垂直。向量夹角的计算公式是`θ=arccos(a·b/|a||b|)`。
4. 平行四边形中的向量关系：平行四边形的对角线互相平分，所以`AD->`和`BC->`相等，`BD->`是`AB->`和`AD->`的差向量。题目中给出`AB->=(2,4)`，`AC->=(1,3)`，可以计算`AD->`和`BD->`的点积，从而确定其值。
5. 向量模的计算与夹角：向量的模是向量各分量平方和的平方根，而向量的夹角可以通过它们的模和点积来确定。如`|a|=1`，`|b|=6`，`a·(b-a)=2`，可计算出向量`a`和`b`的夹角。
6. 平面向量的性质：命题中提到了向量平行的性质（向量的倍数关系）、点积为零的含义（垂直关系）、向量的线性组合以及点积的性质。正确的命题是①（向量平行的线性表示）和④（点积相等意味着两向量与它们的差向量垂直）。
7. 向量投影：向量`a`在向量`b`上的投影等于`|a|cosθ`，其中`θ`是两者之间的夹角。已知`|a|=5`，`|b|=3`，`a·b=-12`，可以求出夹角的余弦值，进一步得到投影的值。
8. 平面向量的线性组合：点M的位置向量可以表示为线性组合`OM-> = λOB-> + (1-λ)OA->`，根据λ的范围，可以判断M的位置关系。
9. 向量分割比例与三角形面积：`AP-> = 1/3(AB-> + AC->)`意味着点P将线段AB分成1:2的比例，因此`△ABP`和`△ABC`的面积之比是面积分割的比例平方，即1/9。
10. 向量线性组合的分解：根据`AR-> = 2RB->`和`CP-> = 2PR->`，可以推断`AP->`是`AB->`和`AC->`的线性组合，从而找到系数m和n。
11. 向量的线性关系与点积：给定向量的线性关系和它们的模相等，可以求出向量`a·(b+c)`的值。
12. 定义新运算“⊙”：这是一个自定义的向量运算，满足一些向量运算的性质，如当向量共线时结果为0，但不满足交换律，且与标量乘法结合律不一致。
填空题：
13. 向量λa+b与c共线，即(λ+2)和(λ+3)成比例，求得λ。
14. 利用向量的模、点积和夹角公式，可以计算|5a-b|的值。
15. 直线与向量垂直意味着它们的点积为0，利用点斜式或一般式写出直线方程。
16. MA->·MB->的最值问题，可以通过向量的内积性质和点M在线段OP上来解决，找出使内积最大或最小的条件。
以上是对平面向量部分知识的详细解释，包括向量的平行、共线、垂直、模长、点积、夹角、线性组合、新运算定义等知识点，以及相关题目解答的思路。
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