抛物线知识点及相关题型
抛物线知识点:
1. 抛物线的定义:平面与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。
2. 抛物线的方程、图形、性质:
标准方程:y^2 = 2px
图形:开口向右的抛物线
性质:对称轴为 y 轴,焦点坐标为(p, 0),准线方程为 x = -p
3. 抛物线的通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径,通径长为 2p。
4. 抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线。
5. 注意强调的几何意义:抛物线是平面内的一种基本曲线,广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
抛物线相关题型:
1. 抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是 x 轴,抛物线过点(1, 2),那么抛物线的标准方程是 y^2 = 2x。
2. 抛物线 yx = 28 的焦点到准线的距离是 4。
3. 抛物线 yx = 28 的焦点坐标是(4, 0)。
4. 抛物线 x^2 = 22y 的准线方程是 x = -11。
5. 设抛物线 22(0)ypx = 的焦点为 F,点(0, 2)A。假设线段 FA 的中点 B 在抛物线上,那么 B 到该抛物线准线的距离为 1。
6. 过点(2, 0)抛物线的标准方程是 y^2 = 4x。
7. 对于抛物线上任意一点 Q,点 P〔a, 0〕都满足|PQ| ≥ |a|,那么 a 的取值范围是〔0, 2〕。
8. 设 O 为坐标原点,F 为抛物线的焦点,A 是抛物线上一点,假设,那么点 A 的坐标是〔1, 2〕。
9. 在同一坐标系中,方程的曲线大致是抛物线。
10. 椭圆(a > b > 0)、双曲线和抛物线(p > 0)的离心率分别为 e1、e2、e3,那么 e1e2 > e3。
11. 动点 P 到点(2, 0)F 的距离与它到直线 20x + y = 0 的距离相等,那么 P 的轨迹方程为 y^2 = 4x。
12. 抛物线的准线与圆相切,那么 p 的值为 1。
13. 以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 x^2 + y^2 = 4p^2。
14. 点到点 F,及到直线的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个,那么 p 的值是 1。
15. 点 M 与点 F(1, 0)的距离比它到直线 x - 5 = 0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方程为 y^2 = 2x - 2。
16. 点 F(1, 0),直线点 B 是 上的动点,假设过 B 且垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,那么点 M 的轨迹是抛物线。
17. 以抛物线上的点 M 与定点 F 为端点的线段 MA 的中点为 P,求 P 点的轨迹方程为 y^2 = x。
18. 圆的方程为 x^2 + y^2 = 4,假设抛物线过点(0, 0),B(1, 0)且以圆的切线为准线,那么抛物线焦点的轨迹方程为 y^2 = 2x。
19. 过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦,再以为邻边作矩形,求点的轨迹方程为 y^2 = x + 2。