南京邮电大学数值代数实验.doc

南京邮电大学数值代数实验 本次实验旨在通过 LU 分解求解线性方程组 Ax=b，并比较不选主元和列主元 LU 分解两种方法的差异。实验中，我们将使用 MATLAB language 编写通用的子程序来实现 LU 分解，并通过实验结果对比两种方法的优缺点。 实验名称：矩阵的 LU 分解 实验目的： 1. 了解 LU 分解的基本概念和原理 2. 掌握 LU 分解的实现方法 3. 比较不选主元和列主元 LU 分解两种方法的优缺点 实验容与要求： 〔1〕用 MATLAB 语言编写通用的子程序来实现不选主元和列主元 LU 分解，并用编写的程序求解 84 阶方程组。 〔2〕写出 Gauss 消去法求解三对角方程组的过程，并编写程序求该实验中的方程组。 Gauss 消去法： Gauss 消去法是线性方程组 Ax=b 的一种常用解法。其基本思想是通过逐次消去未知数的方法，把原来方程组化为与其等价的三角方程组，而求解三角方程组就容易了。换句话说，上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式，从而将求解原方程组的问题转化为求解简单方程组的问题。 在 MATLAB 中，我们可以使用 DelGauss.m 文件来实现 Gauss 消去法。该文件的代码如下： ```matlab function x=DelGauss(a,b) [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k); end ``` 通过上述代码，我们可以实现 Gauss 消去法，并求解线性方程组 Ax=b。 实验结果： 通过实验，我们可以看到，使用 Gauss 消去法可以求解线性方程组 Ax=b，但其计算结果与真实解的差距较大。这种情况可能是由于 Gauss 消去法的计算过程中存在误差累积的问题。 结论： 通过本次实验，我们可以了解 LU 分解的基本概念和原理，并掌握 LU 分解的实现方法。同时，我们也可以比较不选主元和列主元 LU 分解两种方法的优缺点。我们可以通过实验结果看到，使用 Gauss 消去法可以求解线性方程组 Ax=b，但其计算结果与真实解的差距较大。