"三角形五心及其性质"
在本文中,我们将探讨三角形的五心,即垂心、重心、外心、内心和 incenters,并讨论其性质和关系。
一、垂心
垂心是三角形三条高的交点。设△ABC 的三条高为 AD、BE、CF,其中 D、E、F 为垂足,垂心为 H。垂心有以下性质:
1. 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2. 三角形的垂心是它垂足三角形的心;或者说,三角形的心是它旁心三角形的垂心。
3. 垂心 H 关于三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上。
4. △ABC 中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且 AH•HD=BH•HE=CH•HF。
5. H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6. △ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。
7. 在非直角三角形中,过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q,则 AB/AP•tanB+AC/AQ•tanC=tanA+tanB+tanC。
8. 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍。
9. 设 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。
10. 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其切圆与外接圆半径之和的 2 倍。
11. 锐角三角形的垂心是垂足三角形的心;锐角三角形的接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。
12. 西姆松定理(西姆松线):从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13. 设锐角△ABC 有一点 T,那么 T 是垂心的充分必要条件是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
二、重心
重心是三角形三边中线的交点。三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。
三、外心
外心是三角形的外接圆的中心。
四、内心
内心是三角形的内切圆的中心。
五、incenters
incenters 是三角形的角 bisector 交点。
六、垂心坐标的解析解
设三个顶点的坐标分别为(a1,b1)(a2,b2)(a3,b3),那么垂心坐标 x=Δx/2/Δ,y=-Δy/2/Δ。
其中,Δ=det([x2-x1,x3-x2,y2-y1,y3-y2]);
Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1),y2-y1;x3-x2,(y2+y3)*(y3-y2),y3-y2]);
Δy=det([x3-x2,(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1,(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3)]);
七、垂心的向量特征
三角形 ABC 一点 O,向量OA•OB=OB•OC=OC•OA,则点 O 是三角形的垂心
证明:
由 OA•OB=OB•OC,得OA•OB-OC•OB=0
(OA-OC)•OB=0
CA•OB=0,即 OB 垂直于 AC 边
同理由 OB•OC=OC•OA,得 OC 垂直于 AB 边
由 OA•OB=OC•OA,得 OA 垂直于 BC 边
显然点 O 是三角形的垂心。