归纳二重积分的计算方法.doc

【归纳二重积分的计算方法】 二重积分是多元函数微积分中的核心概念，它在几何、物理和力学等领域有着广泛的应用。二重积分可以理解为对二维区域内函数的积分，相当于在一维积分的基础上增加了另一个维度。计算二重积分通常涉及以下几个主要步骤和方法。 1. **二重积分的定义**： 二重积分定义于一个可求面积的有界区域D上，如果函数f在D上有定义，并满足一定的可积性条件，即对于任何给定的正数ε，总能找到一个正数δ，使得当分割D的细度小于δ时，所有可能的积分和的绝对差的极限小于ε，那么我们说函数f在D上可积，其二重积分记为∬D f(x, y) dA，其中dA表示面积元素。 2. **二重积分的性质**： - 如果函数f在D上可积，k为常数，则kf在D上也可积，且积分值为k倍。 - 若f和g在D上都可积，那么f+g、f-g、fg和f/g（若g不为零）在D上也都可积，积分值分别符合加减乘除的运算规则。 - 若f在D1上可积，g在D2上可积，且D1和D2没有公共内点，那么f+g在D1∪D2上可积，积分值为两部分积分之和。 3. **在矩形区域上的二重积分**： 对于矩形区域，二重积分可以直接转化为累次积分。如果函数f在矩形R=[a, b]×[c, d]上可积，那么二重积分可以通过先对y积分，再对x积分的方式计算，即∫[a, b] ∫[c, d] f(x, y) dy dx，反之亦然。 4. **二重积分的计算策略**： - 对于型区域（如直角坐标下的矩形），可以直接按照累次积分的步骤进行计算。 - 对于型区域，可以先对一个变量积分，然后再对剩下的变量积分。 - 变换变量是简化计算的常用手段，例如，通过坐标变换将复杂区域或函数转换为更简单的形式。 - 极坐标变换在处理圆对称或轴对称问题时特别有用，将(x, y)转换为(r, θ)，使得积分区域和/或被积函数变得更简洁。 5. **变量变换的公式**： 设在有界闭域D上可积，变量变换为(u, v) = φ(x, y)，若φ具有一阶连续偏导数且行列式|Jφ|≠0，那么二重积分可以转换为关于新变量的积分，即∬D f(x, y) dA = ∬D' f(φ(u, v)) |Jφ| du dv。 6. **实例解析**： - 直角坐标下的计算：例如，求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积，可以通过分解区域并转换为累次积分来解决。 - 变量变换简化计算：例如，求特定区域的积分，可以通过选择适当的变量变换，如极坐标变换，使积分变得容易。 7. **极坐标计算**： 当被积函数或积分区域与极坐标有关时，通过(x = rcosθ, y = rsinθ)进行转换，可以将二重积分转化为关于r和θ的积分，这在处理圆周率、圆盘面积等问题时特别有效。 总结来说，计算二重积分需要对积分的基本概念、性质、累次积分以及变量变换有深入理解，并能灵活运用。通过选择合适的方法和策略，我们可以有效地解决各种复杂的积分问题。