【知识点】
1. 一元二次方程的解法与性质：题目中涉及了多项式方程的解，如mx^2 - 2x + 1 = 0，需要求解根的情况，以及如何判断方程是否有实数根。根据判别式Δ=b^2-4ac，可以确定方程的根的类型。
2. 实数的运算：包括加减乘除和平方根，例如题目中提到z^2=xy-9，需要找到z的可能值，这涉及到平方根的运算。
3. 二次根式的性质：在解决第1题时，需要利用二次根式的基本性质，例如当z^2=xy-9时，求解z=±√(xy-9)。
4. 一次函数的图像：题目中讨论了一次函数y=(m-1)x^m-经过的象限，这需要了解一次函数的图像特征，根据其系数确定函数经过的象限。
5. 三角形的性质：在第7题中，第三边的长度是解方程的结果，结合三角形的三边关系，可以求出三角形的周长。
6. 抛物线的性质：涉及了二次函数的标准形式y=ax^2+bx+c，如第9题中的y=2x^2+4x-5，需要理解抛物线的开口方向、对称轴、顶点等性质来确定y的取值范围。
7. 二次函数的根的分布：第6题中，方程ax^2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根，要求a的取值范围，需要用到二次函数根的分布规则。
8. 二次函数的对称轴：第10题中，对称轴为x=1-，可以通过二次函数的对称轴公式x=-b/2a来推断函数的其他性质。
9. 方程的解的性质：如第19题，m和n是方程x^2+3x+1=0的两根，要求(m+5)^2-(n+5)^2的值，这需要利用根与系数的关系。
10. 平方根与绝对值的计算：例如第13题，利用完全平方公式和绝对值的性质来求解a^2+|b|的值。
11. 二次方程根与系数的关系：题目中多次出现根与系数的关系，例如第11题，m和n是方程x^2+2x+1=0的根，求代数式(m-1)/(n-1)的值。
12. 定义新运算：第12题中定义了一个新的运算符"*"，需要根据定义来解决问题。
13. 实数的不等式解法：如第15题，方程3ax^2-22ax+a-21=0只有一个实数根，这需要利用不等式Δ≤0来确定a的取值范围。
14. 二次函数与反比例函数的交点：第17题，要求二次函数与反比例函数的交点是整点，涉及到解析几何中的方程组求解。
15. 函数图像的交点问题：第18题，三个二次函数与直线的交点个数，需要通过解方程组来确定。
16. 数列的求和：第16题，通过二次函数的根与数列的关系，求解数列的和。
17. 二次函数与反比例函数的整数解：在第17题中，要求二次函数与反比例函数的交点横坐标和纵坐标都是整数，需要考虑整数解的问题。
18. 多次函数的交点个数：第18题，涉及三次函数与二次函数、一次函数的交点个数，需要分析函数图像的性质。
19. 根与系数的关系：第19题中，利用韦达定理求解关于m和n的表达式的值。
20. 代数式取值范围：第20题，要求a^2+b^2=1和ab的条件下，a+b+ab的取值范围，需要用到不等式理论。
21. 一元二次方程的根的关系：第21题中，探究一元二次方程的根满足的条件，以及如何找到使得某个表达式为负整数的实数a的整数值。
22. 二次方程的判别式与根的性质：第23题中，利用判别式判断方程是否有实数根，以及根与三角形边的关系。
23. 一元二次方程解三角形问题：在第23题中，三角形的边长与一元二次方程的解相关，需要利用根与系数的关系来解决几何问题。
以上这些知识点涵盖了初中数学中的多项式、函数、不等式、根与系数的关系、几何与代数的综合应用等多个方面。
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