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可交换矩阵的几个充要条件及性质.docx
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可交换矩阵的几个充要条件及性质.docx
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可交换矩阵的几个充要条件及其性质
在高等代数中 ,矩阵是一个重要的容 .由 矩 阵 的 理 论 可 知 ,矩 阵 的 乘 法 不 同 于
数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律 ,即 当 矩
AB
有意义时,矩 阵
BA
未必有意义,即
使
AB
,
BA
都 有 意 义 时 它 们 也 不 一 定 相 等 . 但 是 当
A
,
B
满 足 一 定 条 件 是 , 就 有
AB=BA
,此时也称
A
与
B
是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质 ,本 文 主 要 研
究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质 .本 文 矩 阵 均 指 n阶实方阵.
§1 矩阵可交换成立的几个充分条件
定理1.1(1)设
A
,
B
至少有一个为零矩阵 ,那 么
A
,
B
可交换;
(2)设
A
,
B
至少有一个为单位矩阵 ,那么
A
,
B
可交换;
(3)设
A
,
B
至少有一个为数量矩阵 ,那么
A
,
B
可交换;
(4)设
A
,
B
均为对角矩阵 ,那么
A
,
B
可交换;
(5)设
A
,
B
均为准对角矩阵 ,那么
A
,
B
可交换;
(6)设
A
¿
是
A
的伴随矩阵,那么
A
与
A
¿
可交换;
(7)设
A
可逆,那么
A
与
A
−1
可交换;
(8)设
AB=E
,那么
A
,
B
可交换.
证 (1)对任意矩阵
A
,均有
AO=OA
,
O
表示零距阵,所 以
A
,
B
至少有一个为零
矩阵时,
A
,
B
可交换;
. .zl
(2)对任意矩阵
A
,均有
AE=EA
,
E
表示单位矩阵,所以
A
,
B
至少有一个为单
位矩阵时,
A
,
B
可交换;
(3)对任意矩阵
A
,均有
A (kE )=(kE ) A
,k为任意实数 ,那么
(kE )
为数量矩阵,所以
A
,
B
至少有一个为数量矩阵时 ,
A
,
B
可交换;
(4),(5)显然 成 立 ;
(6)
AA
¿
=|A|E=A
¿
A
,所以矩阵
AA
−1
=E=A
−1
A
与其伴随矩阵可交换 ;
(7)
AA
−1
=E= A
−1
A
,所以矩阵
A
与其逆矩阵可交换 ;
(8)当
AB=E
时,
A
,
B
均可逆,且互为逆矩阵,所以根据 (7)可知
A
,
B
可交换.
定理1.2(1)设
AB=αA +βB
,其中
α
,
β
为非零实数, 那 么
A
,
B
可交换,
(2)设
A
m
+α AB=E
,其中
m
为正整数,
α
为非零实数,那 么
A
,
B
可交换.
证 (1)由
AB=αA +βB
可得
( A−βE ) ( B−αE )=αβ E
,即
1
αβ
( A−βE )(B−αE )=E
,故
依 定 理 1 . 1 ( 8 )得
1
αβ
( B−αE )( A−βE)=E
, 于 是
BA−αA−βB+αβ E=αβ E
, 所 以
BA=αA+ βB= AB
;
(2)由
A
m
+α AB=E
得
A ( A
m−1
+αB )=E
,故依定理1.1(8)得
( A
m−1
+αB) A=E
,于是
A
m
+α BA=E
,所以可得
AB=BA
.
定理1.3(1)设
A
可逆,假设
AB=O
或
A= AB
或
A=BA
,那么
A
,
B
可交换;
. .zl
(2)设
A
,
B
均可逆,假设对任意实数
k
,均有
A=( A−kE )B
,那么
A
,
B
可交换.
证 ( 1 )假 设
AB=O
, 由
A
可 逆 得
B=( A
−1
A ) B = A
−1
( AB )=O
, 从 而
BA=O
, 故
AB=BA
;
假设
A= AB
,同理可得
B=( A
−1
A ) B= A
−1
( AB )=E
,故
AB=BA
;
假设
A=BA
,那么
B=B( AA
−1
)=(BA ) A
−1
=E
,故
AB=BA
.
(2)因
A
,
B
均可逆,故由
A=( A−kE )B
得
A−kE
可逆,且
B=( A−kE )
−1
A
,那么
A
'
B
'
=[( A−kE )B ]
'
[( A−kE )
−1
A ]
'
=B
'
( A−kE )
'
A
'
[( A−kE )
'
]
−1
¿B
'
( A
'
A
'
−kA
'
)( A
'
−kE )
−1
=B
'
A
'
( A
'
−kE)( A
'
−kE )
−1
¿B
'
A
'
,
两边取转置可得
AB=BA
.或由
A
−1
B
−1
=[( A− kE )B ]
−1
[( A−kE)
−1
A ]
−1
=B
−1
( A−kE)
−1
A
−1
( A−kE )
¿B
−1
( A
2
−kA )
−1
( A−kE )=B
−1
[( A−kE ) A ]
−1
( A−kE )
¿B
−1
A
−1
,
两边取逆可得
AB=BA
.
§2 矩阵可交换成立的几个充要条件
定理2.1以下均是
A
,
B
可交换的充要条件 :
(1)
( AB )
¿
= A
¿
B
¿
;
(2)
( AB )
'
= A
'
B
'
;
(3)
A
2
−B
2
=( A+B)( A−B)=( A−B )( A +B)
;
(4)
( A±B )
2
= A
2
±2 AB+B
2
.
证 (1)
⇐)
因为
( AB )
¿
= A
¿
B
¿
,两边同时取伴随矩阵可得
AB=BA
;
. .zl
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