【圆的垂径定理】是几何学中关于圆的重要性质，主要应用于解决与圆相关的几何问题。这个定理指出，如果一条直线垂直于圆的直径（即通过圆心的弦），那么这条直线将圆分成两条相等的半径，并且这条直线（垂线）平分直径所在的弦。这一原理在解决涉及到圆的弦长、半径、圆心距等问题时非常关键。
1. 在第一道题目中，利用垂径定理，由于CD是弦且垂直于直径AB，所以CD被分为两段相等的部分。已知BP:AP = 1:5，可以通过比例计算出CD的长度。
2. 第二题，同样利用垂径定理，已知∠AOB为90度，可以得出弧AB的度数，进一步求得弧AC的长度。
3. 第三题中，虽然给出了CD是直径，但题目中提到的直线与圆相切的情况并不直接涉及垂径定理，因此需要其他几何知识来判断选项。
4. 第四题中，由于AB是弦，且垂直于直径CD，根据垂径定理，可以求出AC的长度。
5. 第五题，根据半径OD垂直于弦AB，可以推断出OD是AB的中垂线，从而求出半径的长度。
6. 第六题，结合垂径定理和勾股定理，可以解出桥拱的宽度AB。
7. 第七题，OC垂直于弦AB，利用垂径定理和勾股定理，可以计算出OB的长度。
8. 第八题，延长AO交圆于E，根据垂径定理和相似三角形的性质，可以求出EC的长度。
9. 第九题，折叠圆形纸片使得圆弧经过圆心，说明折痕（直径）垂直于圆弧，根据阴影部分扇形的面积和圆锥侧面积的关系，可以求出圆锥的高。
10. 第十题，CD垂直于直径AB，利用垂径定理和勾股定理，可以求出圆的半径。
11. 第十一题，排水管截面的形状涉及两个半径和一个垂直于直径的弦，利用垂径定理和勾股定理可以求出OC的长度。
12. 第十二题，DC是直径，AB垂直于CD，通过垂径定理可以判断某些边是否相等或角度是否为直角。
13. 第十三题，类似地，分析圆中的角度和线段关系，需要用到垂径定理和其他几何性质。
这些题目都围绕着圆的垂径定理展开，通过应用这个定理以及相关的几何知识，我们可以解决一系列与圆相关的几何问题。对于备考的学生而言，熟练掌握并灵活运用垂径定理是至关重要的。在解题过程中，通常需要结合勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质等几何知识，以及比例、面积、周长等数学概念。通过这些习题的解答，可以提升对圆的几何特性的理解和应用能力。
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