《直线和圆的位置关系》
直线与圆的关系是平面几何中的基本概念,它们之间的相互作用产生了许多有趣的性质和定理。这份练习题旨在帮助我们深入理解这些关系,并通过解题来提升我们的几何思维能力。
直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交。当直线到圆心的距离大于圆的半径时,直线与圆相离;等于圆的半径时,相切;小于圆的半径时,相交。在选择题的第一题中,直线与圆心的距离等于圆的半径,因此直线与圆是相切关系。
第二题涉及圆的切线性质。切线与经过切点的半径垂直。题目中AC是⊙O的切线,所以∠BAC是∠B的一半,即∠BAC=35°。
第三题考察了切线和割线的性质。PA和PB都是切线,根据切线性质,PA=PB,但AB不一定垂直于OP,所以C选项是错误的。
第四题利用了切线长和弦长的关系。已知切线PC的长度,以及PC与直径AB的夹角,可以利用三角函数求出圆的半径。
第五题中,弦AD、BC的交点P在圆内,根据圆周角定理,∠BPD的正切值等于CD与AB的比值,因此答案与CD:AB的正切有关。
第六题中,我们注意到AB是直径,所以∠OBC是圆周角,等于弦AB所对的圆心角的一半,由此我们可以推算出∠OAC的度数。
第七题中,当C点在半圆上移动时,点P是∠OCD平分线与圆的交点。由于∠OCD是直角,其平分线将圆分成两段相等的弧,因此点P始终位于弦CD的垂直平分线上,即点P的位置不变。
第八题考察内心的定义。内心是三角形内切圆的圆心,当内心与外心重合时,三角形必须是等边三角形。
第九题中,AD、AE、BC分别是圆的切线,根据切线长定理,AD+AE=BC,已知AD的长度,可以求出△ABC的周长。
第十题涉及到垂径定理和切线的性质。由条件BE=BC,我们可以推断出∠CBE=∠CBM,进一步分析图形可以得出BC∥MN。
填空题部分,我们需要运用相似三角形、比例关系和圆的性质来解题。例如,第11题中,我们可以利用弦与弦的交点将圆分成四个部分,通过比例关系求出DP的长度。第12题中,结合直径和弦的垂直性质,利用相似三角形的性质可以求出CD的长度。第13题中,利用切线长和割线长的比例关系,可以计算出DAP和PAB的面积之和。
这些练习题涵盖了直线与圆的位置关系的多个方面,包括切线性质、圆周角定理、垂径定理、比例关系等,通过解答这些题目,我们可以巩固并深化对这些概念的理解。