大数据-算法-求解Hamilton矩阵特征问题省略于辛Lanczos算法的误差分析.pdf

在大数据和算法领域，特别是在科学与工程计算中，求解矩阵的特征问题是一个核心任务。本文专注于探讨Hamilton矩阵的特征问题，这类问题在解决代数Riccati方程、线性二次最优控制问题、计算矩阵稳定半径、传输矩阵范数以及线性响应理论等方面具有重要意义。Hamilton矩阵的特征值和特征向量的计算对于理解和解决这些实际问题至关重要。 文章深入研究了特殊辛Householder矩阵和特殊辛Givens矩阵在数值稳定、结构保存的QR型算法中的应用，以计算实代数Riccati方程对应的Hamilton矩阵的稳定不变子空间。这些矩阵变换被用来消除计算过程中的不稳定性，同时提供了旋转角的选取策略，以优化算法性能。 针对文献中提出的算法进行了改进，尤其是对于在Hamilton矩阵J-三对角化过程中可能出现的计算中断或严重失稳情况。文中提出了两种策略：消失稳策略和预处理技术。消失稳策略通过求解减比方程和回溯来避免Bunse-Gerstner和Mehrmann的SR算法可能导致的严重失稳和中断。预处理技术则能提高算法的稳定性，减少回溯次数，降低了计算成本，同时保持了高精度的特征值计算。 此外，文章还研究了一种特定形式的随机辛阵，证明了它可以通过正交相似变换转化为特殊的Schur标准型，并且其条件数是一个与基础单位无关的常数。这一发现对于有效地使用这类随机矩阵，如构造已知特征值的Hamilton矩阵或辛矩阵，具有指导意义。 接着，文章对大规模、稀疏Hamilton矩阵的特征问题求解提出了辛Lanczos算法的舍入误差分析。结果显示，在保持Hamilton结构的条件下，即使存在非对称Lanczos算法，辛Lanczos算法也不会破坏其基本性质。借鉴Paige对对称Lanczos算法的理论分析，本文讨论了辛Lanczos算法中辛Lanczos向量的J-正交性损失与Ritz值收敛之间的关系，揭示了在某些Ritz值开始收敛时，计算向量的正交性损失是不可避免的现象。 这篇论文在Hamilton矩阵的特征问题求解方面做出了重要贡献，不仅提供了新的数值稳定算法，还对算法的误差进行了深入分析，对理解和优化大规模数据处理中的矩阵计算具有重要参考价值。其研究内容涵盖了65F10（矩阵计算）、65F15（数值线性代数）和15A18（矩阵理论）等多个数学分支，对相关领域的研究者和技术人员极具启发性。