这篇论文主要探讨了人工智能领域中的机器学习技术在光子晶体计算中的应用，特别是利用间断有限元方法(DG-FEM)解决与光子晶体相关的微分算子谱的逼近问题。光子晶体是由折射率材料周期性排列构成的结构，能够控制电磁波的传播和辐射。Maxwell方程是描述电磁波行为的重要模型，对于光子晶体的电磁特性研究至关重要。
首先，论文分析了带有周期系数的Maxwell方程的间断有限元离散方法。由于全空间中Maxwell算子的谱是连续的，无法直接通过数值计算近似，因此利用Bloch/Floquet理论将问题转化为具有周期边界的等价问题，使用修正的Nedelec基函数构建间断有限元格式进行数值逼近。论文证明了混合间断有限元格式的收敛性，并通过分析数值解空间的离散紧性，证明了数值算子的一致收敛性，揭示了数值特征值的收敛速度与基函数次数和解的正则性之间的关系。
其次，论文探讨了光子晶体材料非线性特性引起的非线性特征值问题，特别是Crude模型和Lorentz模型等有理型非线性模型。通过将非线性特征值问题线性化，研究线性化算子的谱分析，引入“gap”作为度量算子间距离的工具，扩展了紧算子或有界算子谱逼近理论到更一般的情况。论文证明了在相对紧摄动下非线性特征值问题的本质谱具有稳定性，这对于具有非线性介电常数的光子晶体来说，意味着即使几何形状变化，本质谱依然保持不变。这使得我们可以通过分析确定本质谱的位置，从而在数值计算时避免计算大量集中在本质谱附近的特征值，降低计算复杂度，提高精度。
关键词涉及到的关键概念包括Maxwell方程、光子晶体的能带结构、间断有限元方法、混合有限元方法、离散紧性、特征值问题、多项式特征值问题、本质谱以及相对紧摄动。这篇论文的贡献在于提供了一套有效的方法，用于理解和模拟光子晶体的电磁性质，同时为解决大规模非线性特征值问题提供了新的理论基础和计算策略。
