文档中的内容主要涉及高中数学中不等式的证明和应用，主要知识点包括：
1. **AM-GM 不等式**：在第一道证明题中，利用了AM-GM不等式（算术平均-几何平均不等式），即对于任意非负实数a, b，都有\( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)，等号成立当且仅当a=b。这里通过不等式的性质将1+x+y^2和1+x^2+y分别不小于3的平方根，相乘后得到结果。
2. **均值不等式**：第二题中运用了均值不等式，如a^2 + b^2 >= 2ab表示的是平方平均数大于等于几何平均数，以及a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca，这是三个数的平方平均数大于等于它们的算术平均数的平方。在证明(1)部分，通过这些不等式构建出ab+bc+ca的上界。在证明(2)部分，使用了均值不等式结合不等式的传递性来证明。
3. **不等式比较**：第三题中证明了若ab>cd，则(1/(a+b))>(1/(c+d))，并且进一步证明了(1/(a-b))^2>(1/(c-d))^2是|a-b|<|c-d|的充要条件。这里使用了平方的性质和不等式的乘法性质。
4. **基本不等式**：第四题中涉及到基本不等式，即对于任意正数a, b，有\( a+b \geq 2\sqrt{ab} \)，等号成立当且仅当a=b。在这里用于证明a+b>=2，并且反证法排除了a^2+a<2和b^2+b<2同时成立的可能性。
5. **绝对值不等式**：第五题中处理了含绝对值的不等式f(x)<=1，通过对x的范围分类讨论解出了解集M。同时，利用二次不等式求解g(x)<=4的解集N，并在两个集合的交集中证明了x^2f(x)+x[f(x)]^2<=1/2。
6. **绝对值不等式与恒等式**：第六题中，函数f(x)与绝对值有关，通过解不等式f(x+2)>=0求出m的值，并在之后的证明中利用均值不等式和恒等式(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca，证明了a+2b+3c>=9。
总结来说，这份文档的内容着重于不等式的证明方法和技巧，包括AM-GM不等式、均值不等式、不等式的比较、基本不等式以及绝对值不等式的应用，这些都是高中数学特别是不等式选讲中的核心知识点。通过这些证明，可以锻炼学生的逻辑推理能力和对不等式性质的理解。
