【知识点详解】
1. 函数零点的存在性定理：函数`f(x)`在闭区间`(a, b)`上连续，如果`f(a)`和`f(b)`异号（即`f(a) * f(b) < 0`），则至少存在一点`c ∈ (a, b)`使得`f(c) = 0`。例如题目中的第1题，通过计算`f(1)`、`f(2)`和`f(4)`的值，利用该定理找到函数零点所在的区间。
2. 二分法求方程的近似解：二分法是一种在给定区间内寻找方程根的方法。当函数在某区间内连续且有变号时，可以不断将区间二等分并检查中点处的函数值，直到找到满足条件的子区间。如第2题中，通过比较`f(1)`、`f(2)`和`f(3)`的值，确定了下一个有根的区间。
3. 增函数与零点个数的关系：若函数`f(x)`在区间`[a, b]`上单调递增，且`f(a) * f(b) < 0`，则`f(x)`在该区间内有唯一的零点。如第3题，由`f(-1)`、`f(1)`和`f(1)`的符号判断，结合函数的单调性，得出零点个数。
4. 绝对值函数与方程解的个数：绝对值函数`|x^2 - 2x|`表示由函数`y = x^2 - 2x`的图像翻折于x轴得到的图像，其与直线`y = a^2 + 1`的交点个数取决于直线的位置。如第4题，因为`a^2 + 1 > 1`，所以交点个数为2。
5. 不同类型的函数零点比较：通过比较指数函数、幂函数和对数函数的增长速度，可以找出它们零点的大致位置。如第5题，通过计算`f(0)`、`g(2)`和`h(`)的值，结合函数的单调性，得出零点的大小关系。
6. 周期函数与方程解的个数：偶函数`f(x)`满足`f(x - 1) = f(x + 1)`，则`f(x)`是以2为周期的周期函数。结合对数函数的性质，可以通过画图找到两个函数图像的交点个数，从而确定方程的解个数。如第6题，根据周期性和函数图像的交点，得出解的个数。
7. 二分法求解过程：在寻找函数`f(x) = x^3 + 3x - 1`的零点时，首次计算`f(0)`和`f(0.5)`，发现它们异号，表明零点位于`(0, 0.5)`之间。第二次应计算`f(0.25)`来进一步缩小区间。
8. 方程根的大小关系与参数取值：如果二次方程`x^2 + mx - 6 = 0`的一个根大于2，另一个根小于2，这意味着方程对应的二次函数在2处的函数值小于0。通过不等式`f(2) < 0`，可求得参数`m`的取值范围。
9. 三次方程与参数取值：函数`f(x) = x^3 - x^2 + mx - n`，其零点个数与参数`m`和`n`有关。若`g(x) = f(x) - 2x`有三个不同零点，需要考虑`g(x)`的图像与x轴的交点，结合三次函数的性质和给定的区间，求得参数`m`的取值范围。
10. 连续函数介值定理：若函数`g(x) = f(x) - x`在开区间`()`内连续，且`g(0)`和`g(`)异号，由介值定理知存在`x0 ∈ ()`使得`g(x0) = 0`，即`f(x0) = x0`。
11. 奇函数的性质与方程解的个数：奇函数`f(x)`在`[0, +∞)`上的表达式已给出，利用奇函数的性质可以推导出`x < 0`时的表达式。若方程`f(x) = a`有三个不同的解，需要分析`f(x)`的图像与直线`y = a`的交点，结合奇函数的性质和方程解的个数条件，求得`a`的取值范围。
以上是对题目中涉及的数学知识点的详细解释，涵盖了函数零点的存在性、二分法、函数的单调性、绝对值函数、不同函数零点的比较、周期函数、二分法求解过程、二次方程根的性质、三次方程与参数取值、连续函数的介值定理以及奇函数的性质。
