实验四.传染病模型——微分方程模型(1).pdf

实验四的主题是传染病模型，通过微分方程模型来研究疾病传播的过程。实验的主要目标是增强对微分方程模型的构建和求解能力，并学习如何使用数学软件（如MATLAB）来求解微分方程的数值解。 在传染病模型中，有两个主要的模型实例。第一个模型假设单位时间内感染人数的增长率是常数。在这个模型中，感染人数被视为时间的连续可微函数，增长量与当前感染人数成比例。通过建立微分方程 \( \frac{dx}{dt} - r x = 0 \)，其中 \( x \) 表示t时刻的感染人数，\( r \) 是增长率，可以得出解 \( x(t) = x_0 e^{rt} \)。然而，这个模型显示出感染人数将按照指数规律无限增长，不符合实际情况，因此需要改进。 第二个模型考虑了环境条件的限制，假设感染人数有一个最大可感染人数上限 \( x_m \)。在这个模型中，增长率与感染人数成线性关系，当感染人数达到最大值时，增长率变为零。微分方程表达为 \( \frac{dx}{dt} = r_0 (1 - \frac{x}{x_m})x \)。通过MATLAB求解，我们得到 \( x(t) \) 的S型曲线，它表示感染人数随时间增长的渐进饱和过程，不会超过最大容量 \( x_m \)。 MATLAB在求解微分方程数值解时，使用了诸如 `dsolve` 这样的命令，这对于理解和模拟疾病传播动态非常有用。在模型分析中，我们可以看到增长率与感染人数之间的关系，以及感染人数随时间变化的趋势，这些对于预测传染病的传播峰值和控制策略的制定具有重要意义。 通过这两个模型，我们可以理解传染病在不同假设下的传播动态，例如，增长率与感染人数的关系会影响疾病高峰期的到达时间和严重程度。改进模型通常需要考虑更多的现实因素，如环境阻力、疫苗接种、隔离措施等，以更准确地反映实际情况并为公共卫生决策提供依据。