This paper, based on the tiny error rule (TER) in algebraic sum method, derived the criterion for correctly expressing errors with significant digit, for the first time. Then, according to the criterion, an important conclusion is further reached, namely, any error only needs to keep three
significant digits at most, or it is meaningless. Thus, this paper further perfected the theory of error, and so, it is of great significance for accurately processing all measurement data.
### 误差的有效数字表达准则
#### 摘要与引言
本文主要探讨了基于代数求和法中的微小误差规则（Tiny Error Rule, TER）来正确地使用有效数字表达误差的方法。这是首次系统性地提出了误差的有效数字表达准则，并由此得出了一个重要的结论：任何误差最多只需要保留三位有效数字，否则便没有意义。这一研究成果进一步完善了误差理论，对于准确处理所有测量数据具有重要意义。
#### 误差表达准则
根据代数求和法中的微小误差规则（TER），当一个小误差\( \Delta s \)与总误差\( \Delta t \)的比例不大于1/20时（工程标准放宽至1/10），该小误差可以被视为微不足道的误差，即所谓的微小误差。例如，在采用电压表-电流表法测量电阻时，根据TER，当满足以下条件时，理论误差可以被忽略：
1. 外部连接时：\( R_V \geq \frac{a\Delta R_m}{20} \)；
2. 内部连接时：\( R_A \leq \frac{a\Delta R_m}{(20-a)} \)。
其中，\( \Delta R_T \)、\( \Delta R_m \)、\( R_V \)、\( R_A \)和\( a \)分别代表理论误差、测量误差、电压表内阻、电流表内阻以及测量精度。
基于以上分析，我们可以利用TER为误差的有效数字表达制定一个明确的标准。具体而言，这一准则可以总结为：
#### 误差的有效数字表达准则
1. **确定误差的主要部分**：识别出误差的主要来源及其大小。这一步骤是基于对测量过程中各个误差来源的分析，找出主导误差项。
2. **评估误差的相对大小**：然后，评估这些误差相对于总误差的大小。如果某个误差项与总误差相比小于1/20，则根据TER，该误差可以视为微小误差并被忽略。
3. **保留有效数字的数量**：基于上述评估结果，保留误差表达中的有效数字数量。根据文章的核心结论，任何误差最多只需要保留三位有效数字。这意味着在实际应用中，超出三位有效数字的精度是没有实际意义的，因为更精细的精度将受到其他未知或未考虑因素的影响。
4. **应用实例**：以测量电阻为例，假设通过实验得到的测量误差为0.05Ω，而理论计算得到的最大可能误差为0.2Ω。在这种情况下，由于0.05Ω与0.2Ω的比例远小于1/20，因此0.05Ω可以被视为微小误差并忽略不计。因此，最终报告的误差只需保留两位有效数字，即0.2Ω。
#### 结论
本文提出的误差有效数字表达准则，不仅填补了现有理论中的空白，也为实际应用提供了清晰的指导原则。它强调了误差表达的简洁性和准确性之间的平衡，有助于避免过度复杂化误差分析。这一成果对于提高科学研究和工程技术领域中的测量数据处理水平具有重要价值。此外，该准则还为教育工作者提供了一个实用的教学工具，帮助学生更好地理解误差分析的基本概念。
