复旦大学实变函数讲稿

### 复旦大学实变函数讲稿知识点梳理 #### 一、实变函数基础理论 ##### 1.1 实变函数的基本概念与性质 ###### 1.1.1 实变函数的概念与分类 - **定义**：实变函数是指自变量和函数值均为实数的函数。 - **分类**： - 根据函数定义域的不同，可以分为有界函数与无界函数。 - 根据函数值的变化情况，可以分为单调函数、周期函数等。 ###### 1.1.2 实变函数的连续性 - **定义**：若对于任意给定的正数ε > 0，存在δ > 0，使得当自变量x的改变量|x - x₀| < δ时，函数值f(x)的改变量|f(x) - f(x₀)| < ε，则称函数f(x)在x₀处连续。 - **性质**： - 连续函数在其定义域内保持有界性。 - 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则它在该区间上达到最大值和最小值。 ###### 1.1.3 实变函数的可测性 - **定义**：若对于实变函数f(x)，其所有上侧开区间的原像都是可测集，则称f(x)为可测函数。 - **例子**：阶梯函数是可测函数的一个典型例子。 ###### 1.1.4 实变函数的积分概念 - **定义**：对实变函数f(x)在区间[a, b]上的积分，可以通过构造一系列的矩形逼近曲线下方的面积来定义。 - **基本性质**： - 线性性：∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。 - 区间可加性：若a < b < c，则∫_a^c f(x)dx = ∫_a^b f(x)dx + ∫_b^c f(x)dx。 ###### 1.1.5 实变函数的微分与导数 - **定义**：函数f(x)在x₀处的导数定义为f'(x₀) = lim_(h→0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h。 - **应用**：导数可用于研究函数的变化趋势、极值点等。 ##### 1.2 实变函数的测度理论 ###### 1.2.1 测度的概念 - **定义**：测度是一种赋予集合长度或体积的方法。 - **例子**：勒贝格测度是实数线上最常见的测度之一。 ###### 1.2.2 测度的性质 - **性质**：测度满足以下条件： - 非负性：对于任何集合A，测度μ(A) ≥ 0。 - σ-加性：对于任意的不相交集合序列{An}，有μ(∪An) = ∑μ(An)。 ###### 1.2.3 测度空间 - **定义**：一个测度空间是由一个集合X与其上的σ-代数以及一个定义在σ-代数上的测度构成的三元组(X, Σ, μ)。 - **例子**：勒贝格测度空间就是最典型的例子之一。 ###### 1.2.4 测度的极限理论 - **定义**：在测度空间中，可以定义序列{fn}的测度收敛性和几乎处处收敛性。 - **性质**：若{fn}在测度意义下收敛于f，则存在子序列{f_{nk}}几乎处处收敛于f。 ###### 1.2.5 实变函数的可积性 - **定义**：如果实变函数f在测度空间(X, Σ, μ)上可积，则意味着f的绝对值在该空间上积分有限。 - **例子**：勒贝格积分是实变函数可积性的重要概念。 ##### 1.3 实变函数的序列与级数 ###### 1.3.1 序列的极限与收敛性 - **定义**：序列{an}在测度空间中的极限是指存在一个实数a，对于任意ε > 0，存在N > 0，使得n > N时，|an - a| < ε。 - **性质**：若{an}在测度空间中收敛，则其极限唯一。 ###### 1.3.2 级数的概念 - **定义**：级数∑an是在测度空间中序列{an}的部分和序列{Sn}的极限。 - **收敛性测试**：常用的收敛性测试方法包括比较测试、比值测试等。 #### 二、实变函数的高级理论 ##### 2.1 Lebesgue测度与积分 ###### 2.1.1 Lebesgue测度 - **定义**：勒贝格测度是实数线上的标准测度。 - **性质**：勒贝格测度满足σ-加性、非负性等性质。 ###### 2.1.2 Lebesgue积分 - **定义**：勒贝格积分是基于测度理论定义的一种积分方式。 - **优点**：勒贝格积分适用于更广泛的函数类，并且具有良好的数学性质。 ##### 2.2 Lebesgue积分的性质 ###### 2.2.1 Lebesgue积分的基本性质 - **性质**：勒贝格积分满足线性性、单调性、有界性等基本性质。 ###### 2.2.2 可测集上的积分 - **定义**：在可测集上定义勒贝格积分。 - **性质**：若f在可测集E上可积，则∫_E f dμ是有定义的。 ##### 2.3 Lebesgue积分的应用 ###### 2.3.1 Lebesgue积分在概率论中的应用 - **定义**：在概率论中，随机变量的期望值可以用勒贝格积分表示。 - **应用**：勒贝格积分在概率论和统计学中有广泛的应用。 复旦大学实变函数讲稿覆盖了实变函数的基础理论和高级理论，包括实变函数的基本概念、性质、测度理论、序列与级数等内容。通过深入学习这些内容，可以系统地掌握实变函数领域的核心知识，并为进一步研究提供坚实的基础。