数据结构和算法德国大学课件

根据提供的信息，我们可以总结出以下知识点： ### 数据结构与算法：德国大学课件知识点解析 #### O-Notation（大O表示法） - **定义**： - 大O表示法是用来描述算法运行时间上界的一种记号。它提供了一个算法在最坏情况下的运行时间的上界。 - 如果我们有一个函数`g(n)`，我们说`g(n) = O(n^k)`，意味着存在一个常数`c`和一个非负整数`n0`，使得对于所有`n > n0`都有`g(n) ≤ c * n^k`成立。 - **示例**： - 给定一个函数`g(n) = 4n^2 - 2n + 2`，可以得出这是一个二次多项式，并且满足`g(n) = O(n^2)`。 - 通过进一步分析，可以看出随着输入值`n`的增长，`4n^2`项将主导整个表达式的增长速度，因此其他项可以被忽略。 - **图形解释**： - 图形上，大O表示法可以通过对比不同函数的增长趋势来直观理解。例如，给定一个立方函数和一个二次函数，随着`n`的增加，立方函数的增长速度最终会超过二次函数。 - 重要的是要注意，大O表示法不是给出特定的函数`g(n)`，而是给出所有满足特定条件的一组函数集合。 - **总结**： - 大O表示法提供了一个算法运行时间的最坏情况上界，但这并不意味着算法实际上会达到这个上界。 - `O(f(n))`表示的是所有满足条件`g(n) ≤ c * f(n)`的函数`g(n)`的集合。 - 对于一个`k`阶多项式来说，其渐进行为的时间复杂度为`O(n^k)`。 - 在实际应用中，系统依赖的常数`c`通常是未知的，并不一定很小。 - **重要的计算规则**： - 常数项：任何常数`c`都等于`O(1)`。 - 同阶函数相加：`O(f(n)) + O(f(n)) = O(f(n))`。 - 异阶函数相加：`O(f(n) + g(n)) = max(O(f(n)), O(g(n)))`。 - 常数倍乘：`c * f(n) = O(f(n))`。 - 函数相乘：`O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))`。 - 分支选择：在一个分支语句中，复杂度是条件判断成本`O(1)`加上最长路径的成本。 #### 应用实例 - **分支结构**： - 如果有一个包含两个分支的程序片段，其中一个分支的时间复杂度为`f1(n)`，另一个分支的时间复杂度为`f2(n)`，则该程序片段的总复杂度为`O(max(f1(n), f2(n)))`。 通过以上总结，我们可以了解到大O表示法在评估算法效率时的重要性，以及如何通过具体例子和规则来理解和应用这一概念。这对于学习和研究数据结构与算法的初学者来说是非常有用的。