杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著
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2023-11-20
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杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉 1261 年
所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在 1654 年发现
这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟 393 年，比贾宪迟
600 年。
前提：每行端点与结尾的数为 1.
（与上图中的 n 不同，这里第一行定义为 n=1）
1. 每个数等于它上方两数之和。
2. 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。
3. 第 n 行的数字有 n 项。
4. 前 n 行共[(1+n)n]/2 个数。
5. 第 n 行的 m 个数可表示为 C(n-1
，
m-1)，即为从 n-1 个不同元素中取 m-1 个元素的
组合数。
6. 第 n 行的第 m 个数和第 n-m+1 个数相等 ，为组合数性质之一。
7. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n+1
行的第 i 个数等于第 n 行的第 i-1 个数和第 i 个数之和，这也是组合数的性质之一。即
C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
8. (a+b)
n
的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
9. 将第 2n+1 行第 1 个数，跟第 2n+2 行第 3 个数、第 2n+3 行第 5 个数……连成一
线，这些数的和是第 4n+1 个斐波那契数；将第 2n 行第 2 个数(n>1)，跟第 2n-1 行第 4 个
数、第 2n-2 行第 6 个数……这些数之和是第 4n-2 个斐波那契数。
10. 将第 n 行的数字分别乘以 10^（m-1），其中 m 为该数所在的列，再将各项相加的
和 为 11^ （ n-1 ） 。 11^0=1 ， 11^1=1x10^0+1×10^1=11 ，
11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331，
11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641 ，
11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051。
11. 第 n 行数字的和为 2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-
1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。
12. 斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到
左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，
1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。
13. 将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，
1+1=2 ， 2+1=3 ， 1+3+1=5 ， 3+4+1=8 ， 1+6+5+1=13 ， 4+10+6+1=21 ，
1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。
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