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算法设计与分析 第五章 贪心算法.docx
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§1.
贪心算法基本思想
重量分别是
w
,
w
,
w
,货船的最大载重量是
c
。目标是在船上装最多货箱该怎
�
1
2
n
样装?如果用
x
1
表示装第
i
个货箱,而
x
0
表示不装第
i
个货箱,则上述问
i
i
�
1
2
n
max
n
i
1
n
i
1
背包问题
已知容量为
M
的背包和
件物品
。第
i
件物品的重量为
w
,价值
n
i
是
p
。因而将物品
i
的一部分
x
放进背包即获得
p
x
的价值。问题是:怎样装包
i
i
i
i
max
0
x
1
,
p
0,
w
0,
1
i
n
i
i
i
i
程序
5-1-1
背包问题贪心算法
if
i
n
then
于给定的背包问题实例生成一个最优解。
证明
设
x
(
x
,
x
,
�
,
x
)
是
GreedyKnapsack
所生成的解,但不是最优解。因
1
2
n
i
j
i
当
,
0
x
1
;当
时,
x
0
。不妨
假定
w
x
M
。因为
不是最
i
j
j
i
n
x
i
i
i
i
k
1
2
n
i
i
k
k
k
k
1
1
k
1
k
1
k
1
n
k
k
n
n
w
y
w
x
M
,
y
不是解向量,矛盾。
i
i
i
i
i
1
i
1
n
n
k
k
i
i
i
i
k
k
k
i
1
1
2
n
0
z
y
,
,0
z
y
�
1
1
k
1
k
1
k
k
k
1
k
1
n
n
而且
w
(
y
z
)
w
(
z
y
)
i
i
i
k
k
k
由上段的不等式,这样的向量
z
是存在的,而且是背包问题的可行解,因为
w
z
w
y
w
z
w
z
i
i
k
k
w
y
w
y
i
i
i
i
i
i
至此,我们找到一个新的解向量
z
。以下证明它的总价值不小于
的总价值:
y
i
i
k
k
k
k
k
i
i
i
i
i
k
i
n
p
y
(
z
y
)
w
i
i
k
k
k
i
i
i
k
k
k
1
i
n
i
中间的不等式是由于当
i
k
时有
p
[
k
]
/
w
[
k
]
p
[
i
]
/
w
[
i
]
而
得
。
但
是
z
与
的不同分
x
量的个数比
与
的
不同
分量
的个
数至
少减
少一
个。
以
z
代替
进行上面的讨论,
y
x
y
我们又可以找到新的解向量
z
'
,如此等等,由于分量的个数
n
有限,必到某一
n
x
y
于
x
的
总
价
值
)
,
矛
盾
。
这个矛盾源于
x
不是最优解的假设。故,
x
是最优解。
证毕
n=3, M=20, p=(25, 24, 15), w=(18,15,10)
程序
5-1-2
贪心算法抽象化控制流程
Greedy(A, n) // A[1:n]
代表那个输入
solution={}; //
解向量初始化为空集
for
i from
1 to n do
if
Feasible(solution, x) then
solution=Union(solution, x);
endif
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