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DCT及JPEG编码 (2).pdf
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DCT与JPEG编码
JPEG 是用于灰度图与真彩图的静态图像压缩的国际标准,JPEG 主要采用了以 DCT
(Discrete Cosine Transform,离散余弦变换)为基础的有损压缩算法,在本章中会作较为详
细的介绍。
JPEG 2000 则是用于二值图、灰度图、伪彩图和真彩图的静态图像压缩的新标准,它采
用的是性能更优秀的DWT(Discrete Wavelet Transform,离散小波变换),将在下一章介绍。
因为视频的帧内编码就是静态图像编码,所以JPEG 和 JPEG 2000 的编码算法也用于
MPEG 的视频编码标准中。
8.1 DCT
与上一章所讲的几种熵编码不同,DCT(Discrete Cosine Transform离散余弦变换)是一
种变换型的源编码,使用十分广泛,也是JPEG 编码的一种基础算法。
DCT 将时间或空间数据变成频率数据,利用人的听觉和视觉对高频信号(的变化)不敏
感和对不同频带数据的感知特征不一样等特点,可以对多媒体数据进行压缩。
8.1.1 余弦变换
DCT 是计算(Fourier级数的特例)余弦级数之系数的变换。
若函数f (x) 以 2 l 为周期,在[-l, l ]上绝对可积,则f (x)可展开成Fourier级数:
a
0
n
x n
x
f (x)
a
n
cos b
n
sin
2
n1
l l
其中
1
l
n
x
a
n
f (x) cos dx 余弦变换
l
l
l
1
l
n
x
b
n
f (x) sin dx 正弦变换
l
l
l
若 f (x)为奇或偶函数,有 a
n
≡0 或 b
n
≡0,则 f (x)可展开为正弦或余弦级数:
a
0
n
x n
x
f (x)
b
n
sin 或 f (x)
a
n
cos
l 2
n1
l
n1
• 2 •
多媒体技术与应用教程
任给 f (x),x∈[0, l ],总可以将其偶延拓到[-l, l ]:
f (x), x [0,l]
f (x)
f (x), x [l,0]
然后再以2l 为周期进行周期延拓,使其成为以2l 为周期的偶函数。则 f (x)可展开为余弦
级数:
a
0
n
x
f (x)
a
n
cos
2
n1
l
其中的展开式系数的计算式:
a
n
1
l
n
x
f (x) cos dx
l
l l
称为 f (x)的正(连续)余弦变换。而展开式本身称为a
n
的反(连续)余弦变换。
8.1.2 一维离散余弦变换
将只在N 个整数采样点上取值得离散函数f (x),x = 0, 1, 2, ...,N -1 偶延拓到2N 个点:
f (x), x 0,1,2,..., N 1
f (x)
f (x 1), x N,N 1,...,2,1
则 f (-1) = f (0),函数对称于点x = -1/2,所以将f (x)平移-1/2,区间的半径l = N(参见图8-1):
图 8-1 f (x)的偶延拓
1 1
x ( ) x
2
2
2x 1
l N 2N
再以 2N 为周期进行周期延拓,可得:
第 8 章 DCT 与 JPEG 编码
• 3 •
a
0
N 1
(2x 1)n
f (x)
a
n
cos , IDCT
2
n1
2N
a
n
2
N
x0
N 1
f (x) cos
(2x 1)n
, FDCT
2N
称 a
n
为 f (x)的正离散余弦变换(FDCT = Forward DCT)。而f (x)的展开式本身,则被称为a
n
的反离散余弦变换(IDCT = Inverse DCT)。
为了使IDCT 能写成同一的和式,引入函数
1
, n 0
C(n)
2
1, n 0
为了使正反变换对称,将
a
n
中的
2
N
2 2
拆开后分别乘在正反变换中,并改记
N N
a
n
为 F(n)、n 为 u、x 为 i,则上式变为:
FDCT : F(u)
IDCT : f (i)
N 1
2 (2i 1)u
C(u)
f (i) cos
N 2N
i0
2 (2i 1)u
C(u)F(u) cos
N
u0
2N
N 1
8.1.3 二维离散余弦变换
一维 DCT 是基础,可以直接用于声音信号等一维时间数据的压缩。而图像是一种二维
的空间数据,需要二维的DCT。
设二维离散函数f (i, j),i, j = 0, 1, 2, ... ,N-1,与一维类似地延拓,可得二维DCT:
N 1 N 1
2 (2i 1)u
(2 j 1)v
FDCT : F(u,v) C(u)C(v)
f (i, j) cos cos
N 2N 2N
i0 j0
IDCT : f (i, j)
若取 N = 8,则上式变为:
2
N
C(u)C(v)F(u, v) cos
u0 v0
N 1 N 1
(2i 1)u
(2 j 1)v
cos
2N 2N
7 7
1 (2i 1)u
(2 j 1)v
FDCT : F(u, v) C(u)C(v)
f (i, j) cos cos
4 16 16
i0 j0
IDCT : f (i, j)
1 (2i 1)u
(2 j 1)v
C(u)C(v)F(u, v) cos cos
4
u0 v0
16 16
7 7
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苦茶子12138
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