ACM计算机模板

### ACM计算机模板——计算几何部分知识点详解 #### 标题：ACM的计算几何模板 - **概述**：本文档提供了ACM竞赛中计算几何领域的一系列算法模板，旨在帮助参赛者快速解决问题。 #### 描述：ACM的计算几何模板，该模板全面，而且适用性强 - **内容介绍**：本计算几何模板不仅覆盖了基础概念，如点、向量、直线、三角形等的操作，还深入探讨了高级主题，例如凸包、多边形处理、光线反射与折射等。这些内容经过精心组织，以便于理解和实际应用。 --- ### 知识点详解 #### 二维点与向量 - **点与线的基本操作**： - **距离计算**：包括点到点、点到直线的距离。 - **位置判断**：如点在直线的哪一侧。 - **向量运算**：加减法、点积、叉积等。 #### Pick定理 - **定义**：Pick定理是一种计算简单多边形面积的方法，它基于多边形内部和边界上的格点数。 - **公式**：\[ A = i + \frac{b}{2} - 1 \] 其中\(i\)为内部格点数，\(b\)为边界上的格点数，\(A\)是多边形的面积。 - **应用**：用于解决涉及格点几何的问题。 #### 三角形 - **基本操作**： - **面积计算**：通过海伦公式或行列式计算。 - **内角计算**：利用余弦定理。 - **点与三角形的关系**：判断一个点是否位于三角形内部。 - **三角形类型识别**：如等腰、直角等。 #### 多边形 - **面积计算**：采用分解成三角形的方法。 - **简单多边形与圆的面积交**：通过求解两个图形的交集来实现。 - **两个简单多边形的面积交**：先找到两个多边形的交集，然后计算其面积。 - **矩形几何**： - **矩形面积计算**：基于长和宽的乘积。 - **矩形并集计算**：考虑重叠区域进行面积计算。 - **圆**： - **基本操作**：计算圆的周长和面积。 - **两个圆的位置关系**：如相交、相切等。 - **光线几何**： - **光的反射**：根据反射定律。 - **光的折射**：利用斯涅尔定律。 #### 凸包 - **二维点集凸包**： - **水平序法**：基于点的坐标排序构建凸包。 - **动态凸包**：允许在线添加或删除点。 - **Set动态维护凸包**：利用集合数据结构进行维护。 - **旋转卡壳**：一种高效的寻找凸包直径的算法。 - **三维凸包**： - **随机增量法**：适用于三维空间中的点集。 #### 扫描线 - **Set维护扫描线**： - **简单多边形判定**：通过跟踪线段的进出状态。 - **平面最近圆对问题**：找到最近的两个圆。 - **线段树维护**： - **矩形面积并**：通过线段树统计重叠部分。 - **扫描线经典应用**： - **凸多边形面积并**：考虑多个凸多边形的重叠区域。 - **圆的面积并**：计算多个圆的并集面积。 - **黑白点分割问题**：将黑白点分开，最小化分割线长度。 #### 数值积分 - **Simpson积分**：一种近似计算函数积分的方法，适用于不规则曲线。 #### 随机增量算法 - **最小圆覆盖**：找到能覆盖所有点的最小圆。 - **最小球覆盖**：三维空间中的最小圆覆盖问题。 #### 模拟退火 - **最小球覆盖**：通过模拟退火算法优化球的中心位置和半径。 --- ### 小结 本计算几何模板覆盖了从基础到高级的广泛主题，对于参加ACM竞赛的学生而言，熟练掌握这些知识点将极大提升解决问题的能力。无论是简单的距离计算还是复杂的多边形操作，本模板都提供了清晰的指导和实用的代码示例。此外，对于那些希望深入了解特定主题的学习者来说，本文档也提供了丰富的参考资料。