采样定理及仿真实验
XXX 教研室
CGH
1
目录
一、采样定理 ............................................................................................ 2
二、采样定理的理论证明 ........................................................................ 3
三、采样定理的实际应用 ........................................................................ 5
四、采样定理的仿真实验验证 ................................................................ 7
五、总结 .................................................................................................. 13
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一、采样定理
采样定理是通信理论、计算机控制理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依
据，包括时域采样定理和频域采样定理两部分，又称取样定理、采样定理。1928 年，采样
定理首先由奈奎斯特提出来的，因此采样定理就是奈奎斯特采样定理。1933 年时，定理的
清楚的表述由苏联工程师科捷利尼科完成的，因此采样定理也被称是科捷利尼科夫采样定
理。1948 年 C.E.香农更详细的说明采样定理，所以釆样定理也可称做香农釆样定理。
采样定理描述：如果采样器的输入信号
(
)
ft
具有有限带宽，并且有直到
max
ω
的频率分
量，为保证采样信号
(
)
ft
的频谱是被采样信号
(
)
*
ft
的无重叠的重复，以便采样信号
(
)
*
ft
能反应信号
(
)
ft
的变化规律，采样频率
s
ω
至少应是
(
)
ft
的频谱
(
)
Fj
ω
的最高频率
max
ω
的两倍，即
smax
2
ωω
≥ 。
“采样”就是利用周期采样脉冲从连续信号中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为
采样信号，也称为采样信号，用
(
)
*
ft
表示。采样过程的数学模型就是连续信号与采样脉冲
序列相乘。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是 连续信号离散化的基本依据。在进行
模 A/D 转换过程中，当采样频率
max
ω
大于信号中最高频率
max
ω
的 2 倍时(
smax
2
ωω
≥ ，采
样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一 般 实际应用中保证采样频率为信号最
高频率的 5～10 倍。
采样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬
时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原
来的连续信号。也就是说，采样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信
号与离散信号的相互转换提供了依据。通 过 观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的
线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就 可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频
域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。
3
二、采样定理的理论证明
设连续信号
(
)
ft
的的频带是有限的，就是说，在
max
ωω
> 和
max
ωω
<− 的频域，
(
)
Fj
ω
是零。再来研究其采样序列的频率特性目的是找出
(
)
*
Fs
与
(
)
Fs
之间的相互联
系。采样序列可表示为：
() () ( )
*
0n
ftfttnT
δ
∞
=
=⋅−
∑
（1）
令
() ( )
T
n
ttnT
δδ
∞
=−∞
=−
∑
为理想单位脉冲序列则
(
)
(
)
(
)
*
T
ftftt
δ=⋅
(
)
T
t
δ
是一个周期函数，可以展开为如下傅氏级数形式：
() ( )
0
2/
s
jnt
Tns
n
tCeT
ω
δωπ
∞
=
==
∑
（2）
式中
s
ω
，为采样角频率，其中
()
/2
/2
11
s
T
jnt
nT
T
Ctedt
TT
ω
δ
−
==
∫
。
所以
()
T
1
s
jnt
n
te
T
ω
δ
∞
=−∞
=
∑
，代入（1）式：
() ()
*
1
s
jnt
n
ftfte
T
ω
∞
=−∞
=⋅
∑
（3）
上式两边取拉氏变换，由拉氏变换复数位移定理，得到
() ( )
*
1
s
n
FsFsjn
T
ω
∞
=−∞
=−
∑
（4）
上式在描述采样过程的性质方面是非常重要的，因 为该式提供了理想采样器在频域中的
特点。令
sj
ω
=
，则得到采样序列的傅氏变换。
( ) ( )
*
1
s
n
FjFjn
T
ωωω
∞
=−∞
=−
∑
（5）
采样序列的频谱如下图所示：
. . .
. . .
s
ω
s
ω−
s
2ω−
s
2ω
max
ω
max
ω−
ω
0
(
)
ωjF
*
(
)
ωjF
采样信号
(
)
*
ft
的频谱
(
)
*
Fj
ω
，则是以采样角频率
s
ω
为周期的无穷多个频谱之和。
n=0 的频谱称为采样频谱的主分量，它与连续频谱
(
)
Fj
ω
形状一致，仅在幅值上变化了
1/T 倍；其余频谱（n=±1，2，…）都是由于采样而引起的高频频谱，称为采样频谱的补分
量。从图中可以清楚地看出，只要频谱的主分量与补分量不重叠，即不出现频谱混叠现象，
当消去频谱的补分量，再把幅值放大 T 倍，即可成功地从
(
)
*
ft
重构
(
)
ft
。
4
通常把最低允许采样频率 ƒs=2ƒmax 称为奈奎斯特频率，把最大允许采样间隔 Ts=1/2ƒmax
称为奈奎斯特间隔。
