根据数学建模题目编制的习题，希望对大家有帮助（1某卡车公司拨款8000000元2某农户拥用100亩土地和25000元可供投资。每年冬季（9月中旬至来年5月中旬），该家庭的成员可以贡献3500h的劳动时间用于购买新的运输工具……）
### 数学建模题目解析
#### 题目一：卡车公司运输工具采购优化问题
**背景介绍**：
一家卡车公司计划投入800万人民币用于购买新的运输工具，以提高公司的运输能力。可供选择的运输工具有三种类型：A型、B型和C型。公司目标是通过合理的配置这三种运输工具的数量，在满足特定约束条件下，实现公司每天总运输能力（以吨公里计）的最大化。
**具体参数**：
- A型：载重量10吨，平均时速45公里/小时，单价26万人民币；
- B型：载重量20吨，平均时速40公里/小时，单价36万人民币；
- C型：载重量18吨，平均时速40公里/小时，单价42万人民币，相比B型增加了一个司机休息设施；
- A型需要1名司机，每日工作三班制可运行18小时；
- B型与C型需要2名司机，B型每日工作三班制可运行18小时，C型则为21小时；
- 公司目前有150名司机可用，且短期内无法新增司机资源；
- 工会规定每名司机每天仅能工作一班；
- 维修设备有限，因此购买的运输工具总数不能超过30辆。
**模型建立**：
设x、y、z分别为A型、B型、C型运输工具的购买数量，则有以下约束条件：
1. 购买总量不超过30辆：\(x + y + z \leq 30\)
2. 司机总数限制：考虑到B型和C型需配备2名司机，故\(3x + 6y + 6z \leq 150\)
3. 预算限制：\(260000x + 360000y + 420000z \leq 8000000\)
**目标函数**：
公司目标是最大化每天的总运输能力，即：
\[P = 10 \times 45 \times 18x + 20 \times 40 \times 18y + 18 \times 40 \times 21z\]
**求解过程**：
使用线性规划方法求解上述模型，得到最优解为：购买22辆B型运输工具，总运输能力达到316800吨公里。
---
#### 题目二：农户资源优化配置问题
**背景介绍**：
一家农户拥有100亩土地和25000元投资资金。农户家庭成员在冬季可以提供3500小时的劳动时间，在夏季为4000小时。如果劳动时间有剩余，家庭中的年轻成员可以选择外出打工，冬季工资为每小时6.8元，夏季为每小时7元。农户可以通过种植三种作物（大豆、玉米、燕麦）和养殖两种家禽（奶牛、母鸡）获得收入。农户的目标是在满足各种约束条件下，通过合理配置作物种植面积和家禽养殖数量，使得年净收入最大化。
**具体参数**：
- 奶牛：每头奶牛需要400元初始投资，占用1.5亩土地，冬季需要100小时劳动时间，夏季需要50小时，年净收入为450元；
- 母鸡：每只母鸡需要3元初始投资，不占用土地，冬季需要0.6小时劳动时间，夏季需要0.3小时，年净收入为3.5元；
- 种植一亩大豆、玉米、燕麦分别需要冬季劳动时间为20小时、35小时、10小时，夏季劳动时间为30小时、75小时、40小时，年净收入分别为175元、300元、120元。
**模型建立**：
设大豆、玉米、燕麦种植面积分别为x1、x2、x3亩，奶牛和母鸡养殖数量分别为x4头、x5只，则有以下约束条件：
1. 土地面积限制：\(x1 + x2 + x3 + 1.5x4 \leq 100\)
2. 投资资金限制：\(400x4 + 3x5 \leq 25000\)
3. 冬季劳动时间限制：\(20x1 + 35x2 + 10x3 + 100x4 + 0.6x5 \leq 3500\)
4. 夏季劳动时间限制：\(30x1 + 75x2 + 40x3 + 50x4 + 0.3x5 \leq 4000\)
5. 养殖数量限制：奶牛不超过32头，母鸡不超过3000只。
**目标函数**：
农户的目标是最大化年净收入，即：
\[P = 175x1 + 300x2 + 120x3 + 450x4 + 3.5x5 + 6.8(T_{win} - (20x1 + 35x2 + 10x3 + 100x4 + 0.6x5)) + 7(T_{sum} - (30x1 + 75x2 + 40x3 + 50x4 + 0.3x5))\]
其中\(T_{win}\)和\(T_{sum}\)分别为农户冬季和夏季剩余的劳动时间。
**求解过程**：
使用线性规划方法求解上述模型，可得最优配置方案，从而实现年净收入的最大化。
