小波应用于信号与图像处理

Wavelets with applications in signal and image

processing

Adhemar Bultheel

September 22, 2003

Contents

Table of contents i

1 Introduction 1

2 Signals 10

2.1 Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Sampling theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Subsampling and upsampling of a discrete signal . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 The Heisenberg uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7 Time-frequency plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Filters 32

3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Inverse filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Bandpass filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Polyphase matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5 Note on orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

i

CONTENTS ii

5 Multiresolution 51

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Bases and frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Discrete versus continuous wavelet transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Definition of a multiresolution analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7 Properties of the scaling function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.7.1 General properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.7.2 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.8 The wavelet or mother function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.9 Existence of the wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.10 A more informal approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Wavelet transform and filter banks 80

6.1 Wavelet expansion and filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.8 Multiwavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Approximating properties and wavelet design 97

7.1 Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Design properties: overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.4 Some well known wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.4.1 Haar wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.4.2 Shannon or sinc wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4.3 Mexican hat function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

CONTENTS iii

7.4.9 CDF or biorthogonal spline wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.5 Battle-Lemari´e wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.6 Discrete versus continuous wavelet transforms revisited . . . . . . . . . . . . 110

7.7 Overcomplete wavelet transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.8 Redundant discrete wavelet transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.1 Tensor product wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2 Nonseparable wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.3 Examples of 2D CWT wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.3.1 The 2D Mexican hat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3.2 The 2D Morlet wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9 Subdivision and lifting 123

9.1 In place Haar transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.2 Interpolating subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.3 Averaging subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.4 Second generation wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10.1.1 NMR Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.1.2 Music and audio signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.1.3 ECG signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.2 Image processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.2.1 Image compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.2.2 Image denoising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.3 Wavelet modulation in communication channels . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.4 Other applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.4.1 Edge detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10.4.2 Contrast enhancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

CONTENTS iv

List of acronyms 174

Index 175