在初中数学中，动点问题是几何学中的一个重要概念，它涉及到点在图形上按照特定规则移动，以及由此引发的几何形状的变化。以下是对题目中涉及的知识点的详细解释：
1. **特殊四边形的性质**：
- **平行四边形**：平行四边形的对边平行且相等。在题目中，当 PD=CQ 时，四边形 PQCD 是平行四边形。通过建立方程 24-t=3t，我们可以求得 t 的值。
- **等腰梯形**：等腰梯形有一对对边相等。当 QC-PD=2CE 时，四边形 PQCD 为等腰梯形。利用方程 3t-(24-t)=4，我们可解出 t 的值。
- **直角梯形**：直角梯形有一个内角是90度。若 QC-PD=EC，四边形 PQCD 将成为直角梯形，解方程 3t-(24-t)=2 得到 t 的值。
2. **动点与平行线的性质**：
- **平行线的性质**：平行线间的角相等。在第二个问题中，MN∥BC，因此可以利用这个性质来证明 EO=FO。
- **角平分线**：角平分线将角分为两个相等的部分。这在证明 EO=FO 和四边形 AECF 是矩形时起到了关键作用。
- **矩形的判定**：有一个角是直角的平行四边形是矩形。当点 O 位于 AC 中点时，四边形 AECF 满足这个条件。
3. **直角梯形的性质**：
- **直角梯形**：在第三个问题中，AD∥BC 且 ∠ABC=90°，构成直角梯形 ABCD。动点 P 和 Q 沿各自边移动，通过相似三角形和勾股定理可以求得 NC 和 MC 的长度，并解决其他问题。
4. **四边形的性质与判定**：
- **平行四边形的判定**：对边平行且相等的四边形是平行四边形。在问题（2）中，当 P 和 Q 点同时到达对应位置，使得 PD=CQ，四边形 PCDQ 就是平行四边形。
- **面积和周长的平分**：对于问题（3），如果射线 QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分，则意味着 QN 是中位线，通过求解 t 可得到答案。
- **等腰三角形的判定**：在问题（4）中，当 PMC 为等腰三角形时，可能的情况有 PM=MC 或 PM=PM，需要通过不同的条件建立方程求解 t。
这些问题展示了动点问题如何与几何图形的性质相结合，同时也强调了解决此类问题时，对几何图形的理解和代数技巧的应用是至关重要的。通过这样的练习，学生可以提升逻辑推理能力，掌握动态几何问题的解题策略。
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