空间解析几何习题集答案.doc
本文档提供了空间解析几何习题集的答案,涵盖了计算题和证明题。该习题集主要涉及向量、空间解析几何、空间几何体积等知识点。
计算题1
已知向量 a、b、c 满足 1||a, 4||b, 5||c, 并且 0cba。求 accbba。
解:因为 1||a, 4||b, 5||c, 并且 0cba,所以 a 与 b 同向,且 ba 与 c 反向。因此 0ba, 0cb, 0ac,所以 0accbba。
计算题2
已知 3||ba, 4||ba, 求 ||ba。
解:由 3||ba 和 4||ba 可得 3cosba 和 4sinba。则 ||ba = √(3² + 4²) = 5。
计算题3
已知向量 x 与 a 共线,且满足 3xa, 求向量 x 的坐标。
解:设 x 的坐标为 xyz,则 325xyzxyza。因为 x 与 a 共线,则 0ax,即 05252512125251kyxjxzizykyxjyxizyzyxkji。联立 05252512125251kyxjxzizykyxjyxizyzyxkji 和 325xyzxyza 可得 xyz = (5, 2, 1)。
计算题4
已知点 A(7, 8, 3) 和 B(3, 2, 1),求线段 AB 的中垂面的方程。
解:因为 A(7, 8, 3) 和 B(3, 2, 1),则线段 AB 的中垂面上的点 M(x, y, z) 到 AB 的距离相等。设 M(x, y, z)满足 027532xyx,则线段 AB 的中垂面的方程为 027532xyx。
计算题5
已知向量 a, b, c 具有相同的模,且两两所成的角相等,若 a, b 的坐标分别为 (1, 1, 0) 和 (0, 1, 1),求向量 c 的坐标。
解:设向量 c 的坐标为 xyz,则 11cos1102 。联立 11cos1102 和 201122222 rzyxc 可得 xyz = (1, 0, 1) 或 (31, 34, 31)。
计算题6
已知点 A(1, 6, 3), B(1, 4, 2), C(3, 2, 0) 和 D(3, 0, 2),(1) 求以 AB, AC, AD 为邻边组成的平行六面体的体积;(2) 求三棱锥 BCDA 的体积;(3) 求 BCD 的面积;(4) 求点 A 到平面 BCD 的距离。
解:(1) 由立体几何知,以 AB, AC, AD 为邻边组成的平行六面体的体积为 176121200010034652830101。
(2) 由立体几何知,四面体 ABCD 的体积为 3881766161。
(3) 因为 BCD 是平行四边形 BCED 的面积,因此 SBCD = 216161622。
(4) 设点 A 到平面 BCD 的距离为 H,则三棱锥 BCDA 的体积为 HSVBCDT。因此 H = 22112112838833。
计算题7
已知点 A(1, 2, 3) 和 B(3, 2, 1),且与坐标平面 xOz 垂直的平面的方程。
解:与 xOy 平面垂直的平面方程为 0xyzDCA。把点 A(1, 2, 3) 和点 B(3, 2, 1) 代入上式得 03xyzDCA。