概率论和数理统计第二章基础知识小结
概率论和数理统计是数学的一个重要分支,它们是数学的基石。概率论研究随机事件的概率和概率分布,而数理统计则研究如何从数据中提取有用的信息。第二章基础知识小结涵盖了概率论和数理统计的基础知识,包括离散型分布、连续型分布、随机变量函数的概率分布等内容。
一、离散型分布变量
离散型分布变量是指其可能值是离散的随机变量。离散型分布变量的分布函数是指随机变量取某个值的概率。离散型分布变量的分布律是指随机变量取某个值的概率分布。
1. 离散型分布变量的定义:随机变量 X 的分布律是指随机变量 X 取某个值的概率分布。
2. 分布律的性质:〔1〕非负性、〔2〕归一化、〔3〕右连续。
3. 离散型随机变量的分布函数:分布函数 F(X) 是指随机变量 X 取某个值的累积分布函数。
4. 分布函数 F(X) 的性质:〔1〕非减函数、〔2〕右连续、〔3〕左极限为 0、〔4〕右极限为 1。
5. 三种常见的离散型随机变量的概率分布:〔1〕0-1 分布、〔2〕二项分布、〔3〕泊松分布。
二、连续型随机变量
连续型随机变量是指其可能值是连续的随机变量。连续型随机变量的分布函数是指随机变量取某个值的概率密度函数。
1. 连续型随机变量的定义:随机变量 X 的概率密度函数是指随机变量 X 取某个值的概率密度。
2. 概率密度的性质:〔1〕非负性、〔2〕归一化、〔3〕右连续。
3. 三种常见的连续型随机变量:〔1〕均匀分布、〔2〕指数分布、〔3〕正态分布。
三、随机变量函数的概率分布
随机变量函数的概率分布是指随机变量函数的概率密度函数。
1. 离散型随机变量函数的概率分布:设离散型随机变量 X 的分布律为,那么 X 的函数的分布律为。
2. 连续型随机变量函数的概率分布:设连续型随机变量 X 的概率密度函数为,那么 X 的函数的概率密度函数为。
四、习题解答
1. 设随机变量 X 服从标准正态分布,那么 A. Φ(x) B. 1-Φ(x) C. Φ D. 1-Φ
答案:A. Φ(x)
2. 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,那么。
答案:
3. 设随机变量 X 的概率密度函数为,那么。
答案:
4. 设随机变量 X 的概率密度函数为,求常数 c、X 的分布函数。
答案:〔1〕常数 c=1、〔2〕X 的分布函数为 F(x)=x^2、〔3〕.
5. 设随机变量 X 的概率密度函数为,求常数 c。
答案:常数 c=1
6. 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,那么。
答案:
7. 设随机变量 X 的概率密度函数为,用 Y 表示对 X 的 3 次独立重复观察中事件出现的次数,那么。
答案:
8. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x),那么 F(0)=。
答案:F(0)=0.4
9. 设随机变量 X 服从区间[1,5]上的均匀分布,F(x) 为 X 的分布函数,当 1≤x≤5 时,F(x)=_______。
答案:F(x)=x-1
10. 设随机变量 X 的概率密度函数为=_______。
答案:
11. 设随机变量 X~N(4,9),,那么常数c=_______。
答案:常数 c=2
12. 设随机变量 X~N(0,1),记 Y=2X,求:〔1〕P{X<-1};〔2〕P{|X|<1};〔3〕Y 的概率密度函数。
答案:〔1〕P{X<-1}=0.1587、〔2〕P{|X|<1}=0.6827、〔3〕Y 的概率密度函数为。
13. 设函数 F(x) 的值为〔〕,那么 F(x) 是某随机变量的分布函数。
答案:F(x) 是某随机变量的分布函数。
14. 设随机变量 X 的分布律为,那么_6__。
答案:
15. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x),那么 F(x)_______。
答案:F(x)=x^2
16. 设随机变量 X 的分布律为,那么 0.6 .
答案:0.6
17. 设连续型随机变量的分布函数为,试求:〔1〕系数 ;〔2〕的概率密度函数;〔3〕。
答案:〔1〕系数 =1、〔2〕的概率密度函数为、〔3〕0.5。
概率论和数理统计第二章基础知识小结涵盖了离散型分布、连续型分布、随机变量函数的概率分布等内容,并提供了多种类型的习题和解答,以帮助读者更好地理解概率论和数理统计的基础知识。