工程数学I第4次作业.doc

工程数学I第四次作业主要涵盖了线性代数的基础知识，包括选择题和判断题，以及一系列的主观题目，如计算行列式、求解矩阵问题、判断矩阵可逆性、求矩阵逆、分析向量组的线性相关性及二次型的正交变换。以下是根据作业内容解析的相关知识点： 1. **行列式的性质**： - 行列式的值可以通过行（列）操作来变化，但不会改变其值。 - 如果每列（行）元素之和都相等，可以通过行（列）操作简化行列式。 - 当行列式第一行的元素都等于1时，可以通过行减法简化其他行。 2. **矩阵乘法的性质**： - 矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA，但在特定情况下，如ABC=E时，CBA=E。 - 若ABC=E，则CBA=E（根据逆矩阵的性质）。 3. **秩与齐次线性方程组**： - 齐次线性方程组的系数矩阵的秩r如果小于方程的未知数n，则方程组有非零解。 - 方程组的解空间的维数等于n-r，即有n-r个解向量线性无关。 4. **矩阵的逆**： - 判断一个矩阵是否可逆，可以通过计算其行列式来实现，行列式不为零则矩阵可逆。 - 矩阵的逆可以通过伴随矩阵和行列式计算得出。 5. **行列式展开**： - 行列式可以通过拉普拉斯展开或克拉默法则求解。 - 通过将行列式转化为上三角或下三角形式，可以方便地计算其值。 6. **向量组的线性相关性**： - 判断向量组是否线性相关，要看是否存在非零标量使得线性组合为零向量。 - 利用线性组合的方程组，如果存在非零解，向量组线性相关。 7. **二次型的正交变换**： - 通过正交变换，可以将二次型化为标准型，即对角线元素为平方项系数的形式。 - 正交变换通常涉及施密特正交化过程，通过单位化基向量来实现。 这些知识点是工程数学I，特别是线性代数部分的核心内容。作业中的主观题目进一步要求学生应用这些概念解决具体问题，如计算行列式、求解矩阵方程、判断矩阵可逆性以及进行二次型的正交变换。掌握这些知识对于理解和应用线性代数在工程和其他科学领域的问题至关重要。