巧解双曲线的离心率
双曲线的离心率是双曲线的重要性质,也是高考的热点。经常考查:求离心率的值,求离心率的取值 X 围,或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
(1)利用离心率公式,先求出,然后求出值。
(2)利用双曲线离心率公式的变形:,先整体求出,再求出值。
例 1 已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为__________。
分析:双曲线的渐近线方程为,由已知可得解答:由已知可得,再由,可得。
(3)构造关于的齐次式,再转化成关于的一元二次方程,最后求出值,即“齐次化”。
例如:例 2 设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为____________。
分析:利用两条直线垂直建立等式,然后求解。
解答:因为两条直线垂直,所以(负舍)
2、求离心率的取值 X 围
求离心率的取值 X 围关键是建立不等关系。
(1)直接根据题意建立的不等关系求解的取值 X 围。
例 3 若双曲线(),则双曲线离心率的取值 X 围是_________。
分析:注意到的条件解答:1 / 5
(2)利用平面几何性质建立不等关系求解的取值 X 围。
例 4 双曲线的两个焦点为,若为其上非顶点的一点,且,则双曲线离心率的取值 X 围为__________。
分析:由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形,利用三角形性质构建不等式。
解答:因为,而,又因为三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,所以。
(3)利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解的取值 X 围。
例 5 已知双曲线的左、右焦点分别为,点 P 在双曲线的右支上,且,则此双曲线离心率 e 的取值 X 围是__________。
分析:此题和上题类似,但也可以换一种办法找不等关系。
解答:由可得,又因为点 P 在双曲线的右支上,即,所以。
(4)运用数形结合思想建立不等关系求解的取值 X 围。
例 6 双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值 X 围是______。
分析:由直线和双曲线的位置关系得到不等关系解答:由图象可知渐近线斜率,再由。
(5)运用函数思想求解的取值 X 围。
例 7 设,则双曲线的离心率的取值 X 围是________。
分析:把离心率表示成关于的函数,然后求函数的值域解答:把或表示成关于的函数,,然后用求函数值域的方法求解,。
小结:通过以上例题,同学们应该体会到求离心率的值或取值 X 围有很多种办法,求值不一定非要先求出的值,能够得到中某两者的关系即可;求取值 X 围关键就是找到不等关系建立不等式,不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。要认真审题、分析条件,巧解离心率。
练习:
(1)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( ).
A.B.C.2 D.3
解:设双曲线 C 的方程为-=1,焦点 F(-c,0),将 x=-c 代入-=1 可得 y2=,所以|AB|=2×=2×2a,∴b2=2a2,答案:B
(2)已知双曲线 C:-=1(a>0,b>0) 的离心率为,则 C 的渐近线方程为( ).
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
解:由题意可知,双曲线的渐近线方程为 y=±x,又离心率为 e===,所以=,所以双曲线的渐近线方程为 y=±x.答案:C
(3)双曲线-=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1,l2,点 P 在第一象限内且在 l1 上,若 l2⊥PF1,l2∥PF2,则双曲线的离心率是().
A.B.2 C.D.
解:如图 1,由 l2⊥PF1,l2∥PF2,可得 PF1⊥PF2,则|OP|=|F1F2|=c,设点 P 的坐标为,则=m=c,解得 m=a,即得点 P 的坐标为(a,b),则由 KPF2==-,可得 2a=c,即 e==2.答案:B
(4)若双曲线-=1 的离心率为,则 m 的值为________.
解:由题意,双曲线的焦点在 x 轴上,所以 e==,所以 m=2.答案:2
(5)如图 2,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是___.
A.3 B.2 C.D.
解:设双曲线的方程为-=1,椭圆的方程为+=1,由于双曲线与椭圆有公共焦点且 M,O,N 将椭圆长轴四等分,所以 a2=2a1,又 e1==,e2==,所以==2.答案:2