巧解双曲线的离心率
双曲线的离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值 X 围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
（1）利用离心率公式，先求出，然后求出值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形：，先整体求出，再求出值。
例 1 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________。
分析：双曲线的渐近线方程为，由已知可得解答：由已知可得，再由，可得。
（3）构造关于的齐次式，再转化成关于的一元二次方程，最后求出值，即“齐次化”。
例如：例 2 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________。
分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，所以（负舍）
2、求离心率的取值 X 围
求离心率的取值 X 围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立的不等关系求解的取值 X 围。
例 3 若双曲线（），则双曲线离心率的取值 X 围是_________。
分析：注意到的条件解答：1 / 5
（2）利用平面几何性质建立不等关系求解的取值 X 围。
例 4 双曲线的两个焦点为，若为其上非顶点的一点，且，则双曲线离心率的取值 X 围为__________。
分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等式。
解答：因为，而，又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以。
（3）利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解的取值 X 围。
例 5 已知双曲线的左、右焦点分别为，点 P 在双曲线的右支上，且，则此双曲线离心率 e 的取值 X 围是__________。
分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。
解答：由可得，又因为点 P 在双曲线的右支上，即，所以。
（4）运用数形结合思想建立不等关系求解的取值 X 围。
例 6 双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值 X 围是______。
分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系解答：由图象可知渐近线斜率，再由。
（5）运用函数思想求解的取值 X 围。
例 7 设，则双曲线的离心率的取值 X 围是________。
分析：把离心率表示成关于的函数，然后求函数的值域解答：把或表示成关于的函数，，然后用求函数值域的方法求解，。
小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率的值或取值 X 围有很多种办法，求值不一定非要先求出的值，能够得到中某两者的关系即可；求取值 X 围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。要认真审题、分析条件，巧解离心率。
练习：
（1）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB| 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( )．
A.B．C．2 D．3
解：设双曲线 C 的方程为－＝1，焦点 F(－c,0)，将 x＝－c 代入－＝1 可得 y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a，∴b2＝2a2，答案：B
（2）已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0) 的离心率为，则 C 的渐近线方程为( )．
A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x
解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为 y＝±x，又离心率为 e＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为 y＝±x.答案：C
（3）双曲线－＝1(a>0，b>0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，渐近线分别为 l1，l2，点 P 在第一象限内且在 l1 上，若 l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是()．
A.B．2 C.D.
解：如图 1，由 l2⊥PF1，l2∥PF2，可得 PF1⊥PF2，则|OP|＝|F1F2|＝c，设点 P 的坐标为，则＝m＝c，解得 m＝a，即得点 P 的坐标为(a，b)，则由 KPF2＝＝－，可得 2a＝c，即 e＝＝2.答案：B
（4）若双曲线－＝1 的离心率为，则 m 的值为________．
解：由题意，双曲线的焦点在 x 轴上，所以 e＝＝，所以 m＝2.答案：2
（5）如图 2，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点．若 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是___．
A．3 B．2 C.D.
解：设双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，由于双曲线与椭圆有公共焦点且 M，O，N 将椭圆长轴四等分，所以 a2＝2a1，又 e1＝＝，e2＝＝，所以＝＝2.答案：2
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