高数（1）第三章一元函数的导数和微分.doc

《高数（1）第三章一元函数的导数和微分》主要讲解了一元函数导数和微分的基本概念、性质以及应用。这一章的内容是微积分的基础，对理解和解决实际问题至关重要。 1. 导数的概念 导数是描述函数在某一点处的变化率，源于切线和割线的问题。当割线绕点M旋转趋近于极限位置，即成为切线MT。切线的斜率代表了函数在这一点处的瞬时变化率。导数定义为当自变量x在某点x0处取得增量Δx时，函数y的增量Δy与Δx之比的极限，记为f'(x0)或dy/dx。如果这个极限存在，那么函数在该点可导。 2. 导数的计算 计算导数通常采用极限定义，例如，对于函数f(x)，如果在点x=a处可导，那么f'(a) = lim(Δx→0) [f(a+Δx) - f(a)]/Δx。此外，还有其他形式的导数表达，如f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h。 3. 单侧导数 单侧导数分为左导数和右导数，分别考虑Δx趋向于零的正负两个方向。如果函数在某点的左导数和右导数都存在且相等，那么函数在该点可导。 4. 常数和基本初等函数的导数 常数的导数为0，常见初等函数如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数都有特定的公式。 5. 导数的几何意义 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率。根据导数可以求出切线方程，例如，若f'(x0)=k，则切线方程为y - f(x0) = k(x - x0)。法线方程则与切线斜率互为负倒数。 6. 可导与连续的关系 可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。可导的必要条件是函数在某点连续，且左导数和右导数存在且相等。 7. 求导法则 包括和、差、积、商的求导法则，以及复合函数、反函数的求导法则，这些都是计算导数的基本工具。 8. 求导的应用 导数不仅用于求切线斜率，还可以用于求极值、拐点，分析函数的增减性等，是解决实际问题如物理运动问题的关键。 本章通过多个例题讲解了导数的计算和应用，例如，如何求函数在特定点的导数、讨论函数在某点的连续性和可导性等。这些练习有助于加深对导数概念的理解和掌握。