关于粗糙集和邻域粗糙集的基本理论和程序算例

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邻域粗糙集

matlab程序

归一化

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关于粗糙集和邻域粗糙集的基本理论和程序算例

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关于粗糙集和邻域粗糙集的基本理论和程序算例

索子

Email：buaasuozi@126.com

QQ:379786867

2013-07-06

前言：

本人在做毕业论文的时候用到了粗糙集和邻域粗糙集的相关知识，当初在网

上找了一些资料，但是还是感觉很模糊，最后通过各种渠道，包括搜集资料，翻

阅书刊，最终才把粗糙集和邻域粗糙集研究透彻了一些。可能是我在学习粗糙集

之前询问过很多人，留下了 qq 号，所以后来就有好多网友加我好友，向我询问

一些关于粗糙集的东西。其实吧，我感觉粗糙集的知识没那么难，只是那些理论

说的高深了一些，如果通俗点理解，是没那么难的。为了能一并地帮助大家理解，

省的我一个个针对性地讲解，在这里写下这篇文章。

现在毕业了，我在这里发布一些关于邻域粗糙集和粗糙集的基础性知识，供

大家交流学习。说明一下，我研究的也不是很透彻，肯定会存在不足的地方，

希望大家提出，我会进一步整改。欢迎交流学习！本人 qq：379786867. 关于

加 qq 的那些提问，我想你能理解怎么去填写。

关于参考资料：

Pawlak Z. Rough sets

：

theoretical aspects of reasoning about data. Dordrecht:

Kluwer Academic Publisher, 1991. （这个是鼻祖）

苗夺谦，李道国

粗糙集理论、算法与应用

[M].

北京：清华大学出版社，

2008.

（这个是牛人，国内粗糙集的大牛）

胡清华

于达仁

谢宗霞

基于邻域粒化和粗糙逼近的数值属性约简

[J].

软件学

报

.2008. （这个是邻域粗糙集研究的大牛，软件学报都投了）

建议大家多看看苗夺谦的相关书籍，比较有帮助。还有张文修的，也不错，

各有不同吧！邻域粗糙集的看看胡清华的，但是在看胡清华的文章之前，最后已

经具备了粗糙集的一些基础知识，否则比较难理解。

关于软件和程序：

软件知名的就是 rosetta 了，比较强大，网上有相关教程，我这里不多说这

个。

程序有经典粗糙集的和邻域粗糙集的，经典的就不说了，网上也有。邻域的

就是胡清华编写的了，很不错的 matlab 程序。

1 粗糙集和邻域粗糙集

邻域粗糙集是建立在经典粗糙集的基础上的，经典粗糙集是波兰华沙理工大

学教授帕拉克（Z.Pawlak）在 1982 年，研究不完整数据和不精确知识的表达运

用中提出的。粗糙集具体来说能做些什么？有哪些优点？

1、属于数据挖掘领域的一个基础性理论，能客观地挖掘出数据内部的信息。

（就是找到数据的本质信息）

2、将数据通过一定的原则进行提炼，得出数据的内涵信息（说白了，就是

减肥）

上述的作用，也就是粗糙集的规则提取和数据约简。

1.1 粗糙集的基本概念

粗糙集的一些基本概念就是上近似、下近似、正域、重要度和依赖度。

先列举一些看似很神秘实际上什么都不是的概念：

定义 1.1（关系）

AB

的任一子集为从集合

到集合

的一个二元关系，记

为

，即

R A B

。

通俗理解：这里说的就是数据集合的关系，就是说一个集合的一堆数对应地

和另一个集合的一堆数有点关系。

定义 1.2（论域，知识库）将我们感兴趣的讨论对象组成的非空有限集合，

称为一个论域，记作

。若给出论域

和

上的一簇等价关系

，称二元组

( , )K U R

是关于论域

上的一个知识库。

通俗理解：给一个集合，集合内的数据包含了很多上述对应的关系，例如某

一列数据和另一列数据存在关系（就是决策系统中条件属性和决策属性的对应关

系）。然后就把这样的数据集合叫做了知识库，关系就是一种知识。

定义 1.3（不可分辨关系）给定一个知识库

( , )K U R

，若

PR

，且

P 

，

则

P

仍然是论域

上的一个等价关系，称为

上的不可分辨关系，记为

()IND P

，

简记为

。

根据子集所确定的不可分辨关系，可以将论域

分为多个划分，记作

/ ( )U IND P

，简记为

/UP

。

通俗理解：不可分辨关系就是一种规则，也就是上表说的那些关系。这个需

要通过实例才能更好地理解。

定义 1.4（集合的上近似和下近似）若给定一个知识库

( , )K U R

，且有任意

子集

XU

，等价关系

()R IND K

，则有

( ) { / : }R X Y U R Y X   

(1.1)

( ) { / : }R X Y U R Y X     

(1.2)

称

()RX

为

的下近似，

()RX

为

的上近似。

于是可得子集

的边界域为

( ) ( ) ( )

BN X R X R X

(1.3)

( ) ( )

Pos X R X

称为子集

的

正域，

( ) ( )

Neg X U R X

称为子集

的

负域。

通俗理解：上近似就是求解真子集。下近似就是求解交集不为空。另外，正

域这个概念比较重要，在约简计算中主要依靠这个。

定义 1.5（粗糙集和精确集）给定一个知识库

( , )K U R

，

XU

，若

( ) ( )R X R X

，则称集合

是关于论域

的相对于知识（等价关系）

的精确

集；若

( ) ( )R X R X

，则称集合

是关于论域

的相对于知识（等价关系）

的

粗糙集。

通俗理解：上近似等于下近似就是精确集，不等就是粗糙集。

下面用图形来粗略地表示一下粗糙集的相关概念。

若给定某一离散空间（集合），则经典粗糙集的相关定义可以通过图 1.1 表

示出来。

图 1.1 离散空间表示的经典粗糙集

Fig.1.1 Classical rough sets in discrete spaces

依赖度定义：

对于一个决策系统（一般情况下，在粗糙集的研究中，主要是研究这种称之

为决策系统的集合）

( , , , )DS U C D V f

，其内部函数分别为：

为论域，

为

条件属性，

为决策属性，且

CD  

，

D 

，

为各属性值

的集合，

a C D





，

()f U C D V   

为信息函数（这个信息函数的概念完全可以不

去理会，因为它说白了就是上边粗糙集定义中的那堆关系，就是各列属性对应得

到的集合中的那些数值，也就是 V），表示样本、属性和属性值之间的映射关系。

则给定一个决策系统

，

BC

，决策属性

对条件属性子集

的依赖度定

义为：

()

Pos D





(1.4)

其中，

表示集合的基数，即集合内元素的个数。由公式定义可知，决策

属性集对条件属性子集的依赖度即为条件属性子集

所确定的正域集合在论域

中所占的比例。

以下这个重要的推论是粗糙集约简的依据：

由依赖度公式（1.4）和正域定义可知，给定决策系统

( , , , )DS U C D V f

，

若有

B B C

，则有

( ) ( ) ( )

B B C

Pos D Pos D Pos D

，从而由依赖度公式可

得

( ) ( ) ( )

B B C

D D D

  



，即依赖度随着属性集合的增加而单调递增。

重要度的概念：

在决策系统中，属性重要度定义为条件属性对决策属性的影响程度。

常见的计算属性重要度的方法有基于属性依赖度的方法、基于信息熵的方法

和基于互信息的方法。其中，基于属性依赖度的计算方法如下：

（1）删除属性情况下的计算方法给定决策系统

( , , , )DS U C D V f

，

BC

，若属性

aB

，那么条件属性

对于决策属性

的重要性公式为：

{}

( , , ) ( ) ( )

B B a

Sig a B D D D







(1.5)

由公式可知，属性

对于决策属性

的重要度即为从条件属性集

中删除属

性

后，决策属性

对条件属性

依赖度减小的程度。

（2）增加属性情况下的计算方法同样在决策系统

中，若属性

aC

，

但

aB

，那么条件属性

相对于条件属性集

对于决策属性

的重要度公式为：

{}

( , , ) ( ) ( )

B a B

Sig a B D D D







(1.6)

同样从公式中可以得出，属性

对于决策属性

的重要度即为在条件属性集

中增加属性

后，决策属性

对条件属性

依赖度增加的程度。

通过以上两个属性重要度的定义可知，属性重要度也是单调变化的。同样运

用在属性的约简中。

约简：

决策系统中的约简即为将不必要的、冗余的属性删除，但又不影响决策系统

本身的分类能力。

定义 1.6（知识的约简）给定一个知识库

( , )K U R

和其上的一簇等价关系

PR

，对任意的

GP

，若

满足以下条件：

（1）

是独立的，即

中每一个元素都是必不可少的；

（2）

( ) ( )IND G IND P

，即不影响知识库的划分。

则称

是

的一个约简，记作

()G Red P

。其中，

()Red P

表示

的全体约

简组成的集合。

评论收藏

内容反馈

wimar327

2014-10-14

感谢楼主贡献，对我的帮助很大
W13692510386

2016-09-10

代码可以用的，不过应该还是有错误
baobaotte

2013-08-23

非常感谢！楼主很用心也很专业！辛苦了！刚开始接触粗糙集对我的帮助非常大。有个地方没有搞懂。文中叙述“原始数据data9维，没有类别标签（粗糙集里是叫决策属性吗？）”Normaldata为data数据归一化所得，breast数据为整合后数据（10维，应该是Normaldata和？数据整合而成的），我想问一下谁和谁整合？最后一列怎么来的？最后一列没错的话应该是类别标签。做完数据预处理后，针对breast数据作者提到“我这里的决策属性进行了归一化，所以第 9列就是 0和 1.”这句话意思我没理解，要是第9列是决策属性，那breast数据第10列是干什么的？而且data数据为9维看上去应该全为条件属性
tianziyihao521

2014-05-16

虽然最后没使用，谢谢分享
Rihalaroad

2019-03-28

感谢楼主，对我的帮助非常大