### 运筹学中的运输问题解析
#### 一、运输问题概述
运输问题是运筹学中的一个重要分支，主要研究如何以最低的成本将货物从多个产地运送到多个销地的问题。其核心是通过数学建模来解决实际物流中的优化问题。
#### 二、运输问题的数学模型
运输问题可以通过构建数学模型来进行分析。该模型通常包括以下几个要素：
1. **产地与销地**：假设存在\( m \)个产地和\( n \)个销地。
2. **产量与销量**：每个产地的产量记为\( a_i (i = 1, 2, \ldots, m) \)，每个销地的销量记为\( b_j (j = 1, 2, \ldots, n) \)。
3. **运价**：从产地\( i \)到销地\( j \)的单位运输成本记为\( C_{ij} \)。
4. **运量**：从产地\( i \)到销地\( j \)的实际运输数量记为\( x_{ij} \)。
**数学模型**如下：
\[
\begin{cases}
\min Z = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} C_{ij}x_{ij} \\
\text{s.t.} \\
\sum_{j=1}^{n} x_{ij} = a_i & (i = 1, 2, \ldots, m) \\
\sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j & (j = 1, 2, \ldots, n) \\
x_{ij} \geq 0 & (i = 1, 2, \ldots, m; j = 1, 2, \ldots, n)
\end{cases}
\]
其中，\( Z \)表示总运输成本。
**特点**：
- 当总产量等于总销量时，即\(\sum_{i=1}^{m} a_i = \sum_{j=1}^{n} b_j\)时，运输问题称为平衡运输问题。
- 平衡运输问题一定有最优解。
- 运输问题的系数矩阵\( A \)的秩为\( m + n - 1 \)。
#### 三、表上作业法
表上作业法是解决运输问题的一种有效算法，它实际上是单纯形法在运输问题中的简化应用。该方法主要包括以下步骤：
1. **寻找初始基可行解**：常用的方法有西北角法则、最小元素法和伏格尔法等。
2. **最优性检验**：通过计算非基变量的检验数来判断当前解是否为最优解。
3. **改进解**：如果当前解不是最优解，则通过闭回路法寻找更优的基可行解。
#### 四、西北角法则示例
以题目中的例子为例，具体步骤如下：
1. **确定初始基可行解**：从西北角（即第一个格子）开始，依次填写运输量直到某个产地或销地的供需量被完全满足。在这个过程中，每一步都会减少对应产地的产量或销地的需求量。
\[
\begin{array}{c|cccc|c}
& B_1 & B_2 & B_3 & B_4 & \text{产量} \\
\hline
A_1 & 40 & & & & 50 \\
A_2 & & 10 & 30 & & 40 \\
A_3 & & & 10 & 25 & 35 \\
\hline
\text{需求量} & 40 & 10 & 35 & 25 &
\end{array}
\]
2. **最优性检验**：接下来需要计算非基变量的检验数，以判断当前解是否为最优解。
3. **改进解**：若当前解不是最优解，则通过闭回路法找到新的较优基可行解。
#### 五、闭回路法
闭回路法是一种用于寻找更优解的方法。以题目中的例子为例：
- 选择一个非基变量，例如\( x_{12} \)作为待调整变量，记为\( y \)。
- 从\( y \)出发，沿着与基本格子交替的路径绘制闭回路，该路径必须由基本格子组成，并最终回到起点\( y \)。
- 沿闭回路调整运输量，使得目标函数值下降。
例如，对于题目中的例子，可以得到如下闭回路：\((y^+, 40^-, 10^+, 30^-)\)。通过调整这些变量的值，可以得到一个新的基可行解。
#### 六、总结
运输问题通过构建数学模型并采用有效的算法来解决实际物流中的优化问题。其中，表上作业法是解决此类问题的一种重要工具，包括寻找初始基可行解、最优性检验以及改进解等步骤。通过具体实例的学习，我们可以更好地理解和掌握运筹学中的运输问题及其解决方案。
