**第二章 z 变换详解**
在数字信号处理领域，z 变换是分析离散时间信号和系统的重要工具。z 变换是离散时间信号的频域表示，类似于连续时间信号的Laplace变换和傅里叶变换。本章主要介绍了z变换的基本概念、收敛域、性质以及与连续时间变换的关系。
1. **z变换的定义**
z变换将离散时间序列x(n)转换为复频域中的函数X(z)，公式为：
\( X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} \)
其中，z是一个复变量，z平面是z的复数表示区域。
2. **收敛域**
序列x(n)的z变换X(z)的收敛域是使得上述级数绝对可和的所有z值的集合。级数收敛的必要和充分条件是：
\( |z| > M \)
其中，M是序列x(n)的最大幅度值。
3. **零点和极点**
- **零点**：使得X(z) = 0的z值，它们影响了X(z)的解析结构。
- **极点**：使得Q(z)/P(z) = 0的z值，其中P(z)和Q(z)是X(z)的分子和分母多项式，且P(z)的阶次高于Q(z)。
4. **z变换的类型**
- **有限长序列**：对于有限长序列，其z变换的收敛域通常是一个圆环，由序列的首尾项决定。
- **右边序列**（因果序列）：仅包含非负指数的序列，其z变换的收敛域包含单位圆内。
- **左边序列**：仅包含非正指数的序列，其z变换的收敛域包含单位圆外。
- **双边序列**：包含正负指数的序列，其z变换的收敛域是圆环或包含圆环的区域。
5. **因果性和稳定性**
- **因果序列**：仅依赖于当前及过去输入的序列，其z变换在z = ∞处收敛。
- **稳定序列**：如果序列的z变换的极点都在单位圆内，那么该序列是稳定的，因为这意味着系统对任何输入的响应都将有限。
6. **z变换与Laplace/Fourier变换的关系**
z变换可以看作是离散时间的Laplace变换，它们在特定条件下可以通过拉普拉斯变换和傅里叶变换推导出来。
7. **应用举例**
- 求解离散序列的z变换，例如N点序列的z变换，需要找到满足级数绝对可和的z值范围。
- 计算带有单位阶跃响应的序列的z变换，如u[n]或u[n-a]，其中u[n]是单位阶跃序列。
通过z变换，我们可以分析离散系统的线性、时不变特性，确定系统的频率响应，并判断系统的因果性和稳定性。它是数字信号处理和控制理论中的基础工具，对理解和设计数字滤波器、信号处理算法等具有重要意义。
