算法 导论 答案 算法导论答案 算法导论 答案

根据给定的信息，我们可以推断出这是一份关于《算法导论》（第二版）一书的解答文档，作者是Philip Bille。该文档包含了部分习题的答案，并且明确指出这些答案仅供参考，鼓励读者尝试独立解决问题。下面我们将针对文档中的几个关键知识点进行详细解释。 ### 关键知识点 #### 1. 插入排序与归并排序的比较 文档中提到了一个插入排序优于归并排序的情况： \[8n^2 < 64n\lg n \Rightarrow n < 8\lg n \Rightarrow 2^{n/8} < n\] 通过计算器可以发现，当 \(2 \leq n \leq 43\) 时，上述不等式成立。这意味着对于较小的数据集（即不超过43个元素），插入排序比归并排序更高效。因此，在实现归并排序时，可以通过在输入大小小于等于43的情况下改用插入排序来提高整体效率。 #### 2. 时间复杂度的分析 文档还提供了一个关于不同时间复杂度函数增长速度的对比表，如下所示： | 时间复杂度 | 1秒 | 1分钟 | 1小时 | 1天 | 1月 (30天) | 1年 (365天) | 1世纪 (100年) | |----------|------|-------|--------|--------|-----------|------------|-------------| | \(\log n\) | \(2^{10^6}\) | \(2^{6\times10^7}\) | \(2^{36\times10^8}\) | \(2^{864\times10^8}\) | \(2^{2592\times10^9}\) | \(2^{94608\times10^{10}}\) | \(2^{94608\times10^{12}}\) | | \(\sqrt{n}\) | \(10^{12}\) | \(36\times10^{14}\) | \(1296\times10^{16}\) | \(746496\times10^{16}\) | \(6718464\times10^{18}\) | \(8950673664\times10^{20}\) | \(8950673664\times10^{24}\) | | \(n\) | \(10^6\) | \(6\times10^7\) | \(36\times10^8\) | \(864\times10^8\) | \(2592\times10^9\) | \(94608\times10^{10}\) | \(94608\times10^{12}\) | | \(n\log n\) | 62746 | 2801417 | ?? | ?? | ?? | ?? | ?? | | \(n^2\) | \(10^3\) | 24494897 | 6\times10^4 | 293938 | 1609968 | 30758413 | 307584134 | | \(n^3\) | \(10^2\) | 391 | 1532 | 4420 | 13736 | 98169 | 455661 | 这张表格展示了各种常见的时间复杂度函数随着\(n\)的增长而增长的速度。例如，对于线性对数时间复杂度\(n\log n\)，其值在不同的时间尺度下难以计算或没有给出具体数值。这表明了即使是相对较小的\(n\)值，指数级时间复杂度如\(2^n\)也会迅速变得不可接受，而多项式时间复杂度如\(n^2\)、\(n^3\)则在更大的数据规模上表现得更好。 #### 3. 改变排序算法以实现降序排列 文档中提到，为了实现元素的非递增排序，可以在插入排序算法的第5行将条件从 `A[i] > key` 更改为 `A[i] < key`。 #### 4. 线性搜索算法及其循环不变量 文档提供了一个线性搜索算法（LINEAR-SEARCH），该算法用于在一个数组\(A\)中查找特定值\(v\)的位置。算法的循环不变量为：在每次循环结束时，数组中索引范围\(A[1,\ldots,i-1]\)内的所有元素都不等于\(v\)。这个不变量确保了算法能够正确地遍历整个数组并找到目标值或确定不存在该值。 #### 5. 时间复杂度的渐进分析 文档中还包含了一些关于时间复杂度渐进分析的问题解答示例，例如： - 问题2.2-1：\(n^3/1000 - 100n^2 - 100n + 3 = \Theta(n^3)\)。这里表示该多项式的增长率与\(n^3\)相同。 - 问题2.2-2：假设FIND-MIN算法能够在\(O(s-r)\)时间内返回数组\(A\)中索引\(r\)到\(s\)之间的最小元素的索引，则可以选择实现选择排序算法（SELECTION-SORT）。 以上是对文档中提及的关键知识点的详细解释。这些知识点涵盖了算法设计、时间复杂度分析以及排序算法的具体实现等多个方面，为学习《算法导论》这本书提供了有益的参考和指导。