抽屉原理练习题.docx
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抽屉原理练习题 抽屉原理是组合数学中的一种重要方法,它可以用于解决一些特殊的计数问题。以下是抽屉原理的几个经典练习题: 1. 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,假设蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色一样,那么最少要取出多少个球? 解:把3种颜色看作3个抽屉,假设要符合题意,那么小球的数目必须大于3,故至少取出4个小球才能符合要求。 2. 一幅扑克牌有 54,最少要抽取几牌,方能保证其中至少有 2 牌有一样的点数? 解:点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取 1,再取大王、小王各 1,一共 15,这 15 牌中,没有两的点数一样。这样,如果任意再取 1 的话,它的点数必为 1~13 中的一个,于是有 2 点数一样。 3. 11 名学生到教师家借书,教师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试证明:必有两个学生所借的书的类型一样。 证明:假设学生只借一本书,那么不同的类型有A、B、C、D四种,假设学生借两本不同类型的书,那么不同的类型有 AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有 10 种类型,把这 10 种类型看作 10 个“抽屉〞,把 11 个学生看作1 / 3411 个“苹果〞。如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉,由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型一样。 4. 有 50 名运动员进展某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜,试证明:一定有两个运动员积分一样。 证明:设每胜一局得一分,由于没有平局,也没有全胜,那么得分情况只有1、2、3……49,只有 49 种可能,以这 49 种可能得分的情况为 49 个抽屉,现有 50 名运动员得分,那么一定有两名运动员得分一样。 5. 体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班 50 名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的? 解题关键:利用抽屉原理2。解:根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这9种配组方式制造9个抽屉,将这 50 个同学看作苹果 50÷9 =5……5 由抽屉原理2 k=[m/n ]+1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的。 6. 某校有 55 个同学参加数学竞赛,将参赛人任意分成四组,那么必有一组的女生多于 2 人,又知参赛者中任何 10 人中必有男生,那么参赛男生的人生为__________人。 解:因为任意分成四组,必有一组的女生多于 2 人,所以女生至少有 4×2+1=9〔人〕;因为任意 10 人中必有男生,所以女生人数至多有 9 人。所以女生有 9 人,男生有 55-9=46〔人〕 7. 证明:从 1,3,5,……,99 中任选 26 个数,其中必有两个数的和是 100。 解析:将这 50 个奇数按照和为 100,放进 25 个抽屉:〔1,99〕,〔3,97〕,〔5,95〕,……,〔49 ,51〕。根据抽屉原理,从中选出 26个数,那么必定有两个数来自同一个抽屉,那么这两个数的和即为 100。 8. 某旅游车上有 47 名乘客,每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨,并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果,那么乘客中有______人带苹果。 解析:由题意,不带苹果的乘客不多于一名,但又确实有不带苹果的乘客,所以不带苹果的乘客恰有一名,所以带苹果的就有 46 人。 9. 一些苹果和梨混放在一个筐里,小明把这筐水果分成了假设干堆,后来发现无论怎么分,总能从这假设干堆里找到两堆,把这两堆水果合并在一起后,苹果和梨的个数是偶数,那么小明至少把这些水果分成了_______堆。 解析:要求把其中两堆合并在一起后,苹果和梨的个数一定是偶数,那么这两堆水果中,苹果和梨的奇偶性必须一样。对于每一堆苹果和梨,奇偶可能性有 4 种:〔奇,奇〕,〔奇,偶〕,〔偶,奇〕,〔偶,偶〕,所以根据抽屉原理可知最少分了 4+1=5 筐。 10. 有黑色、白色、蓝色手套各 5 只〔不分左右手〕,至少要拿出_____只〔拿的时候不许看颜色〕,才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。 解析:考虑最坏情况,假设拿了 3 只黑色、1 只白色和 1 只蓝色,那么只有一双同颜色的,但是再多拿一只,不论什么颜色,那么一定会有两双同颜色的,所以至少要那 7 只。
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